Mikroökonomie: 2.2 Optimumfindung

2.2 Optimumfindung

Es gibt mehrere Methoden, das Haushaltsoptimum zu finden:

  • graphisch und
  • analytisch (= mathematisch).

Wir behandeln die analytische und nebenher die graphische.

Dann wollen wir genau eine der beiden folgenden Aufgaben lösen:

  • maximiere den Nutzen U
    • unter der Nebenbedingung des gegebenen Budgets (= der gegebenen Kosten) oder
  • minimiere die Kosten
    • unter der Nebenbedingung der gegebenen Kosten (= des gegebenen Budgets).

Abb. 14: Maximummethode (a) und Minimummethode (b)

Beide Methoden lassen sich auf dieselbe Art lösen. Besser ausgedrückt, lösen wir beide gleichzeitig. Die Zwischenergebnisse werden unterschiedlich sein, das Endergebnis aber identisch.

Um eine Funktion unter einer Gleichheitsnebenbedingung zu lösen, kann man

  • die Methode von Lagrange oder
  • die Einsetzmethode (nicht immer)

anwenden.

2.2.1 Methode von Lagrange

Wir setzen streng konvexe Nutzenindifferenzkurven voraus. Andernfalls könnten wir Lagrange nicht rechnen!

 

LAMBERT-KOCHREZEPT LAGRANGE-METHODE:

1. Was ist die Zielfunktion, was ist die Nebenbedingung?

2. Schreibe die Nebenbedingung so, dass sie = 0 ergibt.

3. Führe die beiden zusammen zur sog. Lagrange-Funktion

L = Zielfunktion + λ·Nebenbedingung.

4. Bilde die Ableitungen der Lagrange-Funktion nach den zu optimierenden Variablen und nach dem Parameter λ, berechne also dL/dx1, dL/dx2 und dL/dλ.

5. Setze alle diese Ableitungen = 0.

6. Löse die ersten Ausdrücke nach λ auf.

7. Nutze die Beziehung λ = λ und löse nach einer der beiden Variablen x1 oder x2 auf. Man erhält die Einkommens-Konsum-Kurve.

8. Gehe hiermit in dL/dλ = 0 und löse nach der verbliebenen Variablen auf.

Die Lagrange-Methode ist entscheidend in der gesamten Mikroökonomie. Wir besprechen sie am

Beispiel 13:

Die Preise zweier Güter 1 und 2 seien gegeben mit p1 = 2 und p2 = 4. Dem Haushalt stehen für seine Güterkäufe B = 1.000 € zur Verfügung. Seine Nutzenfunktion ist U = x10,5·x20,5.

Berechne das Haushaltsoptimum.

Zunächst ist festzustellen, dass man den Nutzen maximieren muss bei gegebenen Kosten (= Maximumversion). Der Haushalte möchte B = 1.000 € ausgeben und sich dafür maximal viel leisten können, er möchte seinen Nutzen U unter der Restriktion des gegebenen Nutzens maximieren.

Die Zielfunktion ist daher U = x10,5·x20,5, seine Nebenbedingung liegt bei B = 1.000 = 2·x1 + 4·x2. Löst man diese Nebenbedingung nach 0 auf, so erhält man 2·x1 + 4·x2 – 1.000 = 0.

LAMBERT-METHODE:

Es ist sehr wichtig, diese Nebenbedingung nach 0 aufzulösen. Nur so können wir sie in die Lagrange-Funktion L = Zielfunktion + λ·Nebenbedingung einsetzen. Wie wir sie nach 0 auflösen, ist unerheblich. Auch der Ausdruck 1.000 – 2·x1 – 4·x2 wäre in Ordnung gewesen.

Die Lagrange-Funktion lautet hier also

L = x10,5·x20,5 + λ·(2·x1 + 4·x2 – 1.000).

Die Ableitungen nach den Variablen sind dann

dL/dx1 = 0,5·x1-0,5·x20,5 + 2·λ,

dL/dx2 = 0,5·x10,5·x2-0,5 + 4·λ,

dL/dx1 = 2·x1 + 4·x2 – 1.000,

Diese Ausdrücke werden nun sämlich gleich null gesetzt:

(I) dL/dx1 = 0,5·x1-0,5·x20,5 + 2·λ = 0,

(II) dL/dx2 = 0,5·x10,5·x2-0,5 + 4·λ = 0,

(III) dL/dx1 = 2·x1 + 4·x2 – 1.000 = 0.

Die Gleichungen (I) und (II) lösen wir nach λ auf und erhalten λ = – 0,25·x1-0,5·x20,5 sowie λ = -0,125·x10,5·x2-0,5 . Da nun aber λ = λ ist, müssen auch die rechten Seiten dieser beiden Gleichungen jeweils gleich sein, es muss also

(#) – 0,25·x1-0,5·x20,5 = -0,125·x10,5·x2-0,5

gelten.

MERKE:

Hier existieren auch andere Herangehensweisen. Viele dividieren z.B. die Gleichungen (I) und (II) und kürzen dadurch das λ heraus.

Die Beziehung (#) lösen wir z.B. nach x1 auf und erhalten

x1 = 2·x2.

LAMBERT-REGEL:

Diese Formel wiederum nennt man

  • in der Haushaltstheorie die Einkommens-Konsum-Kurve und
  • in der Produktionstheorie die Minimalkostenkombination.

Mit der Relation x1 = 2·x2 gehen wir nach (III) – d.h. also in die Nebenbedingung. Wir errechnen 2·x1 + 4·x2 – 1.000 = 2·(2·x2) + 4·x2 – 1.000 = 4·x2 + 4·x2 – 1.000 = 8·x2 – 1.000 = 0. Dies löst man leicht nach der verbliebenen Variablen x2 auf und erhält x2 = 125 ME. Hiermit gehen wir wieder zurück in die Einkommens-Konsum-Kurve und errechnen x1 = 2·125 = 250 ME.

Also: wenn die Preise bei p1 = 2 € und 4 € liegen, der Haushalt B = 1.000 € zur Verfügung hat und der Nutzen U = x10,5·x20,5 maximiert werden soll, dann geschieht dies, indem man x1 = 250 ME und x2 = 125 ME kauft.

Abb. 15: Haushaltsoptimum, speziell bei der Maximummethode

2.2.2 Einsetzmethode

Die Einsetzmethode klappt nur in bestimmten, einfachen Fällen. Man löst die Nebenbedingung nach einer der beiden Variablen auf und setzt dies in die zu optimierende Zielfunktion ein. Dadurch haben wir die Anzahl der Variablen reduziert, man erhält eine Funktion mit lediglich einer Variablen. Diese lässt sich dann optimieren nach den bekannten Methoden.

LAMBERT-KOCHREZEPT EINSETZMETHODE:

1. Löse die Nebenbedingung auf, z.B. nach x2. Wenn das Budget die Nebenbedingung ist, erhält man die Gleichung der Budgetgeraden.

2. Setze dies in die Zielfunktion ein. Diese ist dann nur noch von einer einzigen Variablen abhängig.

3. Leite ab nach dieser Variablen und setze gleich null.

4. Löse nach der verbliebenen Variablen auf.

5. Setze ein in die Beziehung aus 1.

Rechnen wir dies durch an einem (einfachen)

Beispiel 14:

Peter hat B = 500 € zur Verfügung, seine Nutzenfunktion liegt bei U = x1·x2. Die Preise der beiden Güter 1 und 2 betragen p1 = 10 € und p2 = 5 €. Wie lautet seine optimale Nachfrage? Rechne

a) mit der Einsetzmethode und zur Kontrolle auch

b) mit der Lagrange-Methode.

a) Man löst die Nebenbedingung B = 500 = 10·x1 + 5·x2 nach x2 auf und erhält die Budgetgerade x2 = 100 – 2·x1. Diese setzt man in die Zielfunktion ein und erhält U = x1·x2 = x1·(100 – 2·x1) = 100·x1 – 2·x12. Ableiten nach der Variablen x1 führt auf dU/dx1 = 100 – 4·x1 = 0, also x1 = 25 ME und x2 = 100 – 2·25 = 50 ME.

b) Die Lagrange-Funktion ist L = U(x1,x2) + λ·(10·x1 + 5·x2 – 500) = x1·x2 + λ·(10·x1 + 5·x2 – 500). Wir differenzieren nach den Variablen x1, x2 und λ und erhalten

dL/dx1 = x2 + 10·λ = 0 und

dL/dx2 = x1 + 5·λ = 0 sowie

dL/dλ = 10·x1 + 5·x2 – 500 = 0.

Auflösen der ersten beiden Gleichungen λ liefert λ = -0,1·x2 und λ = -0,2·x1. Wegen λ = λ ist auch -0,1·x2 = -0,2·x1, also x2 = 2·x1.

LAMBERT-REGEL:

Ab hier merken wir bereits, dass die Lagrange-Methode in dieselbe Richtung läuft wie die Einsetzmethode, die ja auch das Zwischenergebnis x2 = 2·x1 gefunden hatte.

Dies setzen wir in die Nebenbedingung ein und erhalten 500 = 10·x1 + 5·x2 = 10·x1 + 5·(2·x1) = 20 x1, also x1 = 25 ME sowie x2 = 50 ME.

Im vorliegen Beispiel sind also die Einsetzmethode als auch die Lagrange-Methode anwendbar. Manchmal ist jedoch die Einsetzmethode nicht einfacher, sondern (deutlich) schwieriger als die Lagrange-Methode, so bereits o.e.

Beispiel 15:

Die Preise zweier Güter 1 und 2 seien gegeben mit p1 = 2 und p2 = 4. Dem Haushalt stehen für seine Güterkäufe B = 1.000 € zur Verfügung. Seine Nutzenfunktion ist U = x10,5·x20,5. Berechne das Haushaltsoptimum.

Zielfunktion ist der Nutzen, Nebenbedingung also die Budgetgleichung. Auflösen von B = 2·x1 + 4·x2 = 1.000 nach x2 liefert die Budgetgerade, nämlich x2 = 250 – 0,5·x1. Dies setzt man ein in die Zielfunktion, also U = x10,5·x20,5 = x10,5·(250 – 0,5·x1)0,5 ein. Diese Nutzenfunktion ist zwar nur noch von einer einzigen Variablen, nämlich x1, abhängig, allerdings wäre es deutlich komplizierter, nun die erste Ableitung zu bilden, diese gleich null zu setzen etc., als die Lagrange-Methode anzuwenden.

 

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