Mikroökonomie: 2.3 Nachfrage

2.3 Nachfrage

2.3.1 Preis-Absatz-Funktionen

Wir greifen auf das o.e. Beispiel 1 zurück.

Für das besseres Verständnis zeichnen wir zunächst die Preis-Absatz-Funktion (= Nachfragekurve).

Die Menge ist folglich x = -0,5·p + 5.

Wichtig sind die folgenden Begriffe:

  • Sättigungsmenge und
  • Prohibitivpreis.

Die Sättigungsmenge xmax gibt an, wieviel der Konsument höchstens abnimmt. Selbst wenn er das Gut geschenkt kriegt, fragt er nicht mehr nach als diese Menge xmax. Peters Sättigungsmenge liegt bei xmax = 5 ME.

Der Prohibitivpreis (= Fluchtpreis = Reservationspreis) pmax zeigt an, dass ein Konsument höchstens diesen Preis zu zahlen bereit ist. Bei allen höheren Preisen (genauer gesagt, sogar schon ab dem Preis pmax), liegt die nachgefragte Menge bei x = 0. Im Beispiel liegt Peters Prohibititvpreis bei pmax = 10 €.

Abb. 16: Prohibitivpreis und Sättigungsmenge

2.3.2 Herleitung der Nachfragefunktion

Unter einer Nachfragefunktion xi = xi(p1,p2,…,pn,B) versteht man eine Zuordnung, die dem

  • Preis des betrachteten Gutes, also pi,
  • Preisen anderer Güter, also p1,…,pn und
  • dem Einkommen des Haushalts, also B,

die nachgefragte Menge eines Gutes, also x, zuordnet.

Die Nachfragefunktion leiten wir wiederum her aus Nutzenoptimierungskalkülen. Wenn der Nutzen U eines Haushalts zu maximieren ist unter der gegebenen Beschränkung durch das Budget B, so lässt sich aus einem Maximierungskalkül die Nachfrage herleiten.

MERKE:

Genauso gut könnten wir das Budget B minimieren bei gegebenem Nutzen U. Das Ergebnis ist dasselbe.

Die Methode ist die folgende.

LAMBERT-KOCHREZEPT NACHFRAGEFUNKTION:

Gehe so vor wie im Kochrezept zum Haushaltsoptimum (vgl. Kap. ??). Wiederhole die ersten sieben Schritte mit einer einzigen Ausnahme: schreibe nicht konkrete Werte für das Einkommen B und die Preise p1, p2, sondern lasse diese allgemein!

Rechnen wir dies an einem Beispiel durch.

Beispiel 16:

Peter hat die Nutzenfunktion U=x10,5·x20,5. Berechne seine Nachfragefunktion für die beiden Güter x1 und x2.

Die Nutzenfunktion U=x10,5·x20,5ist zu maximieren unter der Budgetbeschränkung B = p1·x1 + p2·x2, die Lagrangefunktion ist daher

L = x10,5·x20,5 + λ·(B – p1·x1 – p2·x2).

Die Ableitungen nach den Variablen sind dann

∂L/∂x1 =0,5·x1-0,5·x20,5λ·p1 = 0,

∂L/∂x2 =0,5·x10,5·x2-0,5λ·p2 = 0,

∂L/λ = B-p1·x1-p2·x2 = 0.

Auflösen der ersten beiden Gleichungen nach λ liefert

λ = 0,5·x1-0,5·x20,5-·p1-1 und

λ= 0,5·x10,5·x2-0,5·p2-1.

Wenn man λ = λ setzt, wird dies also zu

0,5·x1-0,5·x20,5·p1-1 = 0,5·x10,5·x2-0,5·p2-1. Auflösen nach z.B. x2 ergibt dann

(#) x2 = (p1/p2)·x1.

Diese Beziehung setzt man in die Nebenbedingung ein und erhält

L/∂λ = B – p1·x1 – p2·x2

= B – p1·x1 – p2·((p1/p2)·x1)

= B – p1·x1 – p1·x1

= B – 2p1·x1

= 0.

Aufgelöst nach x1 erhält man schließlich die Nachfragefunktion für das erste Gut als

x1 = 0,5·B·p1-1.

Dies setzt man ein in (#) und errechnet somit jene für das zweite Gut:

x2 = (p1/p2)·x1 = (p1/p2)·(0,5·B·p1-1) = 0,5·B·p2-1 (#)

Also sind insgesamt x1 = 0,5·B·p1-1 und x2 = 0,5·B·p2-1 die Nachfragefunktionen für Gut 1 und Gut 2.

2.3.3 Elastizitäten

Es gibt zwei unterschiedliche Arten:

  • zwei Preiselastizitäten, nämlich die
    • direkte Preiselastizität und die
    • indirekte Preiselastizität (= Kreuzpreiselastizität)
  • die Einkommenselastizität.

2.3.3.1 Direkte Preiselastizität

Allgemein leitet man die Preiselastizität folgendermaßen her, nämlich als relative Veränderung der Menge, dividiert durch die relative Veränderung des Preises, also

Elastizität =

Wenn dies für immer kleinere Veränderungen des Preises durchgeführt wird, so erhält man die Elastizitätsformel

ηx,p = direkte Preiselastizität der Nachfrage.

Der Ausdruck x/dp gibt hierbei die partielle Ableitung der x-Funktion nach dem Preis p an.

Zur Berechnung ein kleines

LAMBERT-KOCHREZEPT PREISELASTIZITÄTEN:

1. Löse die Preis-Absatz-Funktion nach der Menge x auf.

2. Leite dies dann nach dem Preis p ab. Man erhält x/p.

3. Setze dies ein in die Elastizitätsformel.

4. Schreibe in dieser Elastizitätsformel nicht p/x, sondern setze vielmehr für x die gesamte Preis-Absatz-Funktion ein.

5. Vereinfache den Ausdruck. Man erhält die Preiselastizität in Abhängigkeit des Preises p.

Beispiel 17:

Peter habe die Preis-Absatz-Funktion p = 10 – 2·x.

Auflösen nach der Menge liefert x = 5 – 0,5·p. Die partielle Ableitung hiervon nach dem Preis ist x/p = – 0,5. Einsetzen in die Elastizitätsformel ergibt ηx,p =(x/p)·(p/x) = – 0,5·(p/x). Schließlich setzt man für x die Beziehung von oben, nämlich x = 5 – 0,5·p, ein:

ηx,p =

.

Vereinfachen (durch Erweitern mit 2) gibt also schließlich das Ergebnis

ηx,p = – p/(10 – p).

LAMBERT-METHODE:

Frage: was bedeutet nun eine Preiselastizität?

Antwort: wenn der Preis p sich um 1 % bewegt, so verändert sich die Menge um ηx,p %. Oder: wenn der Preis p sich um α % verändert, so bewegt sich die Menge um α·ηx,p %.

Außerdem ist das Vorzeichen der Preiselastizität sehr wichtig.

MERKE:

Wenn ηx,p < 0 (Normalfall), dann bewegen sich Preis und Menge in unterschiedliche Richtungen. Steigt der Preis, so sinkt die Menge. Sinkt er, so steigt die Menge. Ist hingegen ηx,p > 0, so bewegen sich Preis und nachgefragte Menge in dieselbe Richtung. Wenn der Preis steigt, so steigt die Menge, sinkt er, so sinkt ebenfalls die nachgefragte Menge (Giffen-Fall).

Rechnen wir auch dies am obigen Beispiel durch.

Beispiel 18:

Peter habe die Preis-Absatz-Funktion p = 10 – 2·x.

a) Berechne die Preiselastizität an der Stelle p = 4.

b) Wie verändert sich die Menge, wenn der Preis um 2 % steigt?

a) Die Preiselastizität hatten wir ausgerechnet als ηx,p = – p/(10 – p). An der Stelle p = 4 ist sie ηx,4 = – 4/(10 – 4) = -4/6 = -0,67. Bei einem Preis von p = 4 wird eine Menge von x = 5 – 0,5·4 = 3 ME nachgefragt.

b) Steigt der Preis nun um 2 % an, so liegt er bei 1,02·4 = 4,08 €. Die nachgefragte Menge ist dann x = 5 – 0,5·p =5 – 0,5·4,08 = 2,96 ME. Die nachgefragte Menge sinkt also von 3 ME auf 2,96 ME, also um Δx/x = (2,96 – 3)/3 = 1,33 %. Dies ist aber auch klar, denn eine Veränderung des Preises um 2 % führt zu einer Senkung der nachgefragten Menge um α·ηx,p %. = 2·(-0,67) = – 1,33 %.

Die Preiselastizität legt eine wichtige Eigenschaft eines Gutes fest:

MERKE:

ηx,p < 0: das Gut ist ein gewöhnliches ( = normales) Gut,

ηx,p > 0: das Gut ist ein Giffen-Gut.

Eine Preis-Absatz-Funktion hat also nicht „die“ Preiselastizität, sondern i.A. unendlich viele.

Von dieser Regel existieren drei Ausnahmen, bei denen die Elastizität auf der gesamten Kurve identisch ist:

  • vollkommen preisunelastische Nachfrage
    • Preiselastizität ηx,p = 0
  • vollkommen preiselastische Nachfrage
    • Preiselastizität ηx,p = – ∞,
  • isolelastische Nachfrage
    • Preiselastizität ηx,p = – 1.

Die folgende Abbildung zeigt diese Extremfälle:

Abb. 17: Preiselastizität ηx,p = – ∞ (a), ηx,p = 0 (b), ηx,p = – 1 (c)

Beispiel 19:

Chronisch kranke Menschen sind bei Medikamenten äußerst preisunelastisch, dies kommt dem Fall ηx,p = 0 sehr nahe. Wenn z.B. der Preis für Insulin steigt, bleibt einem Diabetiker keine andere Wahl, als diesen höheren Preis zu bezahlen, weil er auf das Gut angewiesen ist. Dieselbe Nachfragereaktion dürfte ein Patient zeigen, der auf Herzschrittmacher angewiesen ist etc.

Der andere Fall, nämlich ηx,p = – 1 auf der gesamten Kurve, wird in der folgenden Aufgabe konstruiert.

Beispiel 20:

Betrachte die Nachfragefunktion p = 1/x. Wie lautet die Preiselastizität der Nachfrage?

Man formt nach x um und erhält x = 1/p = p-1. Dies leitet man nach p ab und sieht x/p = -1·p-1-1 = -1·p-2. Die Elastzität liegt nun bei

ηx,p = (x/p)·(p/x)

= (-1·p-2)·(p/x)

= (-p-2)·(p/p-1)

= (-p-2)·(p1-(-1))

= -p-2+2 = -p0

= -1.

Wenn also der Preis um a % erhöht wird, so sinkt die nachgefragte Menge ebenfalls genau um a % – und zwar unabhängig von der Preishöhe, bei der man startet.

2.3.3.2 Kreuzpreiselastizität

Die Kreuzpreiselastizität gibt an, wie die nachgefragte Menge nach einem Gut reagiert, wenn sich der Preis eines anderen (!) Gutes verändert.

Man berechnet sie als

ηx1,p2 = (x1/∂p2)·(p2/x1) Kreuzpreiselastizität der Nachfrage

Beispiel 21:

Die Nachfragefunktion nach einem Gut liege bei x = B/(2·p1·p2).

Die partielle Ableitung nach dem Preis des anderen Gutes ist x1/∂p2 = B/(2·p1·p22). Einsetzen dieses Ausdrucks zusammen mit der gesamten Nachfragefunktion ergibt dann

ηx1,p2 = = = = -1.

Kreuzpreiselastizitäten legen wichtige Eigenschaften der beiden Güter fest:

MERKE:

ηx1,p2 < 0 bzw. ηx2,p1 < 0: die beiden Güter sind komplementär,

ηx1,p2 > 0 bzw. ηx2,p1 > 0: die Güter sind substitutiv.

Beispiel 22:

Nach dem 2. Weltkrieg stieg in Deutschland der Butterpreis (p1) an. Als Folge sank die Nachfrage nach Butter (x1), jene nach Margarine (x2) hingegen stieg an. Der Preis für Butter und die Nachfrage nach Margarine liefen also in dieselbe Richtung, Butter und Margarine waren folglich Substitute.

2.3.3.3 Einkommenselastizität

Die Einkommenselastizität berechnet man als

ηx,B = (x/∂B)·(B/x) Einkommenselastizität der Nachfrage.

Beispiel 23:

Die Nachfragefunktion nach einem Gut sei gegeben durch x = B/(2·p1·p2). Berechne die Einkommenselastizität.

Es ist ∂x/∂B = 1/(2·p1·p2) die partielle Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Einkommen (= Budget) B. Diese setzt man ein in die Formel der Elastizität und setzt für x die gesamte Nachfragefunktion ein:

ηx,B = (∂x/∂B)·(B/x)

= 1/(2·p1·p2)·(B/B/(2·p1·p2).

= + 1.

LAMBERT-REGEL:

Bei Funktionen vom Typ Cobb-Douglas ist die Elastizität immer der jeweilige Exponent. Wenn also die Nachfragefunktion x = Bα·p1β·p2δ ist, so gilt:

  • die direkte Preiselastizität der Nachfrage ist ηx,p = β, also der Exponent beim Preis p1,
  • die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage lautet ηx1,p2 = δ, also der Exponent beim anderen Preis, nämlich p2,
  • die Einkommenselastizität ist ηx,B = α, also der Exponent beim Einkommen B.

Die Einkommenselastizität legt eine wichtige Eigenschaft eines Gutes fest:

MERKE:

ηx,B < 0: das Gut ist ein inferiores Gut,

ηx,B > 0: das Gut ist ein superiores Gut.

Beispiel 24:

Peters Einkommen steigt an. Als Folge verbringt er seinen alljährlichen Sommerurlaub nun nicht mehr in Wanne-Eickel am Baggersee, sondern in Kutah-Beach auf Bali.

Seine Reisen an den Baggersee sind inferior, die Fernreisen nach Bali hingegen superior.

 

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