Mikroökonomie: 3.2 Kosten

3.2 Kosten

3.2.1 Kostenfunktionen

Kommen wir zur zweiten Hälfte des Kapitels der Unternehmenstheorie, nämlich zu Kosten.

Wir kümmern wir uns um folgende Fragen:

  • wie leitet man eine Kostenfunktion her,
    • kurzfristig und
    • langfristig?
  • welche Arten von Kosten existieren?
    • Gesamtkosten,
    • Durchschnittskosten,
    • Grenzkosten,
  • finde gewisse optimale Produktionen
    • Betriebsoptimum und
    • Betriebsminimum.

3.2.1.1 Herleitung

Eine Kostenfunktion ist immer von der Gestalt K = K(x), d.h. sie ist abhängig vom Output x. Kosten in Abhängigkeit vom Input K(v1,v2) sind also keine Kostenfunktion!

Man leitet die Kostenfunktion nach unterschiedlichen Methoden her, je nachdem, ob

  • ein Faktor konstant ist
    • kurzfristige Kostenfunktion berechnen oder
  • ob beide variabel sind
    • langfristige Kostenfunktion berechnen.
3.2.1.1.1 Kurzfristige Kostenfunktion

Einer der Faktoren ist gegeben und konstant. Hierdurch entstehen Fixkosten, das Ergebnis ist also

K (x) = kv·x + Kf kurzfristige Kostenfunktion.

Wie kommen wir nun dorthin?

LAMBERT-KOCHREZEPT KURZFRISTIGE KOSTENFUNKTION:

1. Gehe aus von den Kosten in Abhängigkeit vom Input, also K(v1,v2) = q1·v1 + q2·v2.

2. Setze den konstanten Faktor hier ein.

3. Wir benötigen den Zusammenhang zwischen dem übrig gebliebenen – variablen – Faktor und dem Output x. Gehe hierzu in die Produktionsfunktion.

4. Setze den konstanten Faktor ein.

5. Löse nach dem verbliebenen Faktor auf. Man erhält die sog. Faktoreinsatzfunktion vi = vi(x) , i = 1,2.

6. Setze dies in das Ergebnis aus Schritt 2 ein.

Rechnen wir dies durch.

Beispiel 34:

Peters Firma besitzt die Produktionsfunktion x = v10,5v20,5. Der Faktor x2 ist (kurzfristig) konstant mit v2 = 9. Die Faktorpreise sind 4 und 5 für die beiden Faktoren 1 und 2. Berechne die Kostenfunktion.

Wir gehen aus von

K(v1,v2) = q1·v1 + q2·v2

= 4·v1 + 5·v2

= 4·v1 + 5·9

= 4·v1 + 45.

Wenn man in die Produktionsfunktion die konstante Menge für v2 einsetzt, so erhält man x = v10,5v20,5 = v10,590,5 = 3·v10,5. Dies löst man nach dem verbliebenen Faktor, also v1, auf und erhält v1 = (1/9)·x2. Diese Faktoreinsatzfunktion für das Gut 1 setzt man in die obige Rechnung für die Kostenfunktion ein und erhält schließlich

K(v1,v2) = 4·v1 + 45 = 4·(1/9)·x2 + 45 = (4/9)·x2 + 45 = K(x).

Die (kurzfristige) Kostenfunktion ist daher K(x) = (4/9)·x2 + 45.

LAMBERT-REGEL:

Aus den Kosten in Abhängigkeit vom Input, also aus K(v1,v2), sind nach einigen Rechenschritten K(x), also die Kosten in Abhängigkeit vom Output, geworden. Nur letzteres ist dabei die eigentliche Kostenfunktion!

3.2.1.1.2 Langfristige Kostenfunktion

Beide Faktoren sind variabel, keiner ist als konstant gegeben. Hierdurch entstehen insbes. keine Fixkosten, das Ergebnis ist also

K (x) = kv·x langfristige Kostenfunktion.

Zunächst die Methode, nach der man vorgeht.

LAMBERT-KOCHREZEPT LANGFRISTIGE KOSTENFUNKTION:

1. Starte mit den Kosten in Abhängigkeit vom Input, also mit K(v1,v2) = q1·v1 + q2·v2.

2. Nimm das Zwischenergebnis der Lagrange-Methode, nämlich (x/∂v1)/(∂x/∂v2) = q1/q2, nachdem also das Verhältnis der Grenzproduktivitäten gleich dem Faktorpreisverhältnis ist.

3. Löse auf nach einer der beiden Variablen, also v1 oder v2. Man erhält den Expansionspfad.

4. Gehe hiermit in das Ergebnis aus Schritt 1. Wir haben dadurch die Kosten in Abhängigkeit nur noch eines einzigen Inputfaktors.

5. Gehe mit dem Expansionspfad in die Produktionsfunktion x = x(v1,v2) und löse nach der verbliebenen Inputvariablen auf. Man erhält die Faktoreinsatzfunktionen v1 = v1(x) und v2 = v2(x).

6. Gehe mit 5. nach 4. Man erhält die Kosten in Abhängigkeit des Outputs x, also K(x). Dies ist die sog. Kostenfunktion.

Man erhält insbes. keine Fixkosten. Deswegen handelt es sich um eine langfristige Kostenfunktion, denn langfristig existieren keine Fixkosten. Gehen wir die Methode an einem Beispiel durch.

Beispiel 35:

Der Unternehmer Fritz habe die Produktionsfunktion x = v10,5·v20,5. Die Faktorpreise liegen bei q1 = 10 € und q2 = 5 €.

Berechne die Kostenfunktion.

Die Kosten in Abhängigkeit des Inputs (also noch nicht die eigentliche Kostenfunktion!) ist K(v1,v2)= 10·v1 + 5·v2. Die Grenzproduktivität des ersten Faktors ist ∂x/∂v1 = 0,5·v1-0,5·v20,5, jene für den zweiten liegt bei ∂x/∂v2 = 0,5·v10,5·v2-0,5. Dividiert man dies, so folgt

(∂x/∂v1)/(∂x/∂v2) = (0,5·v1-0,5·v20,5)/(0,5·v10,5·v2-0,5)

= v10,5 – 0,5 ·v20,5-(-0,5)

= v1-1·v21

= v2/v1.

Setzt man dies gleich dem Faktorpreisverhältnis, so ist

v2/v1= q1/q2 = 10/5 = 2.

Auflösen nach dem zweiten Faktor liefert v2 = 2·v1. Hiermit geht man in die Kosten (nicht die Kostenfunktion!) und rechnet

K(v1,v2)= 10·v1 + 5·v2 = 10·v1 + 5·(2·v1) = 20·v1 (#).

LAMBERT-METHODE:

Zwar haben wir die Anzahl der Inputs reduziert, aber immer noch liegen nicht die Kosten in Abhängigkeit von x, also vom Output, vor.

Deshalb geht man mit dem Expansionspfad v2 = 2·v1 zusätzlich in die Produktionsfunktion: x = v10,5·v20,5 = v10,5·(20·v1)0,5 = 200,5·v1 und löst nach v1 auf. Man erhält die Faktoreinsatzfunktion v1 = 20-0,5·x. Hiermit geht man schließlich in das Zwischenergebnis (#) und terminiert:

K(v1,v2) = … = 20·v1 = 20·20-0,5·x = 200,5·x = √(20)·x.

Die langfristige Kostenfunktion ist also K(x) = 200,5·x.

3.2.2 Kostenverläufe

Im folgenden klären wir folgende Begriffe:

  • Gesamtkosten,
  • Durchschnittskosten,
  • Grenzkosten,
  • Betriebsoptimum und Betriebsminimum.

3.2.2.1 Gesamtkosten

Je nachdem, wie sich Kosten verhalten, wenn die produzierte Menge steigt oder fällt, unterscheidet man unterschiedliche Verläufe von Kosten:

  • fixe Kosten
  • variable Kosten
    • degressive Kosten
    • progressive Kosten
    • regressive Kosten
  • intervallfixe Kosten.

Die folgende Abbildung 48 illustriert die Systematik.

Abb. 48: Systematisierung von Kosten

Bei fixen Kosten ändert sich der Kostenverlauf nicht, wenn die Beschäftigungsmenge ansteigt. Die Gesamtkosten bleiben also auf der Höhe der fixen Kosten konstant, wie folgende Abbildung zeigt.

Abb. 49: Verlauf fixer Kosten

Degressive Kosten bedeutet, dass die Gesamtkosten zwar ansteigen, allerdings nur degressiv, wenn die Beschäftigung (= Menge = Output) steigt, wie die folgende Abbildung 51 verdeutlicht.

Abb. 50: Verlauf degressiver Kosten

Es kommt also lediglich zu einem unterproportionalen Anstieg, die Kosten steigen langsamer an als die Ausbringung.

Umgekehrt steigen bei progessiven Kosten die Kosten schneller als die Ausbringung steigt, es kommt also zu einem überproportionalen Anstieg der Gesamtkosten, wie folgende Abbildung zeigt.

Abb. 51: Verlauf progressiver Kosten

Regressive Kosten sind lediglich ein akademischer Spezialfall, sie treten in der Praxis fast nie auf, bedeuten sie doch, dass bei ansteigender Menge die Kosten sinken.

Beispiel 36:

Ein eher theoretisches als ein wirklich in der Praxis oft vorkommendes Beispiel: wenn im Kinosaal die Auslastung der Sitzplätze von 90 % auf 100 % steigt, so kann die Heizung heruntergedreht werden, weil die Temperatur ohnehin immer höher ist.

Mit steigender Menge (also steigender Anzahl der Besucher) sinken die Kosten, nämlich die Heizkosten im Kino.

Abb. 52: Verlauf regressiver Kosten

Intervallfixe (= sprungfixe) Kosten steigen nur an bestimmten Stellen, genauer gesagt an bestimmten Sprungstellen an. Als Beispiel hierfür sei z.B. der Maschinenpark einer Unternehmung genannt. Mit jeweils neuem Zukauf einer zusätzlichen Maschine steigen die Abschreibungen derselben nicht an, solange die Ausbringung nur in solcher Höhe ansteigt, dass nicht eine zusätzliche Maschinenanschaffung notwendig ist. Erst wenn eine zusätzliche Maschine angeschafft wurde, steigen die Abschreibungen und damit die sprungfixen Kosten.

Zusätzlich zu den Gesamtkosten und ihrem Verlauf lassen sich

  • Durchschnittskosten und
  • Grenzkosten

analysieren.

3.2.2.2 Durchschnittskosten

Hierbei versteht man unter Durchschnittskosten DK den Ausdruck

Durchschnittskosten,

also die Kosten je Mengeneinheit. Die Durchschnittskosten lassen sich aber auch graphisch herleiten. Hierzu die folgende Vorgehensweise (s. Abb. 53):

LAMBERT-KOCHREZEPT HERLEITUNG DURCHSCHNITTSKOSTEN:

  1. Trage die Gesamtkostenkurve in ein Koordinatensystem ab.
  2. Markiere einen beliebigen Punkt A dieser Gesamtkostenkurve.
  3. Zeichne hierzu den Fahrstrahl durch den Nullpunkt des Koordinatensystems an den Punkt A.
  4. Verschiebe diesen Fahrstrahl parallel so lange, bis er auf der Abszisse (x-Achse) durch die Stelle -1 geht.
  5. Markiere den Schnittpunkt des verschobenen Fahrstrahls mit der Ordinate (y-Achse).
  6. Dieser Ordinatenwert gibt den zu der Stelle xA passenden Wert der Durchschnittskostenkurve an.
  7. Wiederhole dieses Prozedere für den Punkt B der Gesamtkostenkurve.
  8. Man erhält für unterschiedliche Punkte der Gesamtkostenkurve also die Punkte der Durchschnittskostenkurve DK =

Die Durchschnittskostenkurve lässt sich also graphisch als Funktion der produzierten Menge darstellen. Das Vorgehen verdeutlichen wir an der folgenden Abbildung 53.

 

Abb. 53: Graphische Herleitung der Durchschnittskostenkurve

Beispiel 37:

Die Gesamtkostenkurve sei gegeben durch K(x) = 3x2 + 5x + 7. Wie lauten die Durchschnittskosten?

Die Durchschnittskostenkurve errechnet sich durch Division der Gesamtkosten K(x) durch die Menge x, also durch

DK(x) = K(x)/x

= (3·x2 + 5·x + 7)/x

= 3·x + 5 + 7/x.

3.2.2.3 Grenzkosten

Die Grenzkostenkurve

K´(x) = dK/dx Grenzkosten

gibt an, wie viel die zuletzt produzierte (infinitesimale = unendliche kleine) Mengeneinheit kostet.

MERKE:

Anders ausgedrückt, wird durch die Grenzkosten angegeben, in welchem Ausmaß sich die Kosten erhöhen, wenn eine Mengeneinheit zusätzlich produziert wird, bzw. in welchem Ausmaß sich die Kosten reduzieren, wenn eine Mengeneinheit weniger hergestellt wird.

Graphisch gesprochen bilden die Grenzkosten das Steigungsmaß der Gesamtkostenkurve. Auch die Grenzkostenkurve lässt sich graphisch herleiten.

LAMBERT-KOCHREZEPT HERLEITUNG DER GRENZKOSTEN:

  1. Trage die Gesamtkostenkurve in ein Koordinatensystem ab.
  2. Markiere einen Punkt A innerhalb der Gesamtkostenkurve.
  3. Zeichne die Tangente an die Gesamtkostenkurve in dem Punkt A. Verschiebe diese Tangente so lange parallel, bis sie auf der x-Achse durch die Stelle -1 geht.
  4. Der Schnittpunkt der Parallelverschiebung der Tangente mit der Ordinate bildet den Ordinatenwert der Grenzkostenkurve an der Stelle (xA, GK(xA)) =:C.
  5. Wiederhole dieses Verfahren für den Punkt B der Gesamtkostenkurve usw.

Abb. 54: Herleitung der Grenzkostenkurve

Beispiel 38:

Im oben erwähnten Beispiel 37, 38 der Gesamtkostenkurve K(x) = 3x² + 5x + 7 lautet die Grenzkostenkurve K´(x) = 6x + 5.

An diesem Beispiel sei die Bedeutung der Grenzkostenkurve erläutert. Wenn die Unternehmung zwei Mengeneinheiten produziert, so führt dies zu Gesamtkosten in Höhe von K(2) = 3·2² + 5·2 + 7 = 29. Wenn die Ausbringungsmenge (= Beschäftigung = Output) um eine Mengeneinheit erhöht wird, also von 2 ME auf 3 ME, so steigen die Kosten dadurch auf K(3) = 3·3² + 5·3 + 7 = 49 €. Die Kosten steigen also, verursacht durch die Erhöhung der Produktion um eine Mengeneinheit, um 20 € an, nämlich von 29 € auf 49 €. Dieser Anstieg um 20 € wird durch die Grenzkostenfunktion approximativ ausgedrückt. Die Grenzkosten der Stelle 2 lauten nämlich K´(2) = 6·2 + 5 = 17 €. Grenzkosten an der Stelle 2 von 17 bedeuten also, dass die Erhöhung der Produktion um eine Einheit die Kosten um 17 € steigen lässt. Im vorliegenden Beispiel waren allerdings die Kosten um 20 € gestiegen.

LAMBERT-METHODE:

Dies zeigt, dass die Bedeutung der Grenzkosten hier nur ungefähr (= approximativ) richtig ist, jedoch nicht exakt richtig. Dies liegt daran, dass die Erhöhung der Mengeneinheit nicht um eine ganze Mengeneinheit stattfinden darf, sondern genauer gesagt nur um eine unendlich kleine Mengeneinheit.

Verdeutlichen wir dies, indem die Produktionsmenge nicht von zwei auf drei ME, sondern von 2 auf 2,1 ME erhöht wird. Die Kosten für 2,1 ME sind K(2,1) = 3·2,12 + 5·2,1 + 7 = 30,73 €.

LAMBERT-METHODE:

Hier sind die Grenzkosten wesentlich näher an der Wahrheit, denn ein Anstieg um Δx = 0,1 ME führt zu einem Anstieg der Kosten um ca. GK(2)·0,1 = 17·0,1 = 1,7 €. Dies wiederum ist fast sogar exakt richtig, denn die Kosten steigen von K(2) = 29 € auf einen Betrag von K(2,1) = 30,73 €, also um 1,73 €, d.h. ungefähr um 1,7 €.

3.2.2.4 Betriebsoptimum, Betriebsminimum

Für die folgenden Überlegungen zum Betriebsoptimum und zum Betriebsminimum unterscheiden wir

  • eine s-förmige Gesamtkostenfunktion (= ertragsgesetzliche Gesamtkostenfunktion) und
  • eine lineare Gesamtkostenfunktion.

Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion geht von substitutionalen Produktionsfaktoren aus und bedeutet, dass wenn man einen Produktionsfaktor erhöht und alle andere konstant lässt, die Erträge zunächst progressiv ansteigen, dann degressiv weiter steigen und schließlich absolut gesehen abnehmen. Die Verläufe einer ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion und einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion werden in der folgenden Abbildung verdeutlicht.

Abb. 55: Ertragsgesetzliche Kostenfunktion

Abb. 56: Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion

Man sieht also, dass die ertragsgesetzliche Produktionsfunktion zunächst progressiv ansteigt. In diesem Bereich steigt die Kostenfunktion nur degressiv an. Dies liegt daran, dass mit zunehmendem Input der Output überproportional steigt. Durch dieses positive Phänomen steigen die Kosten zwar an, aber nur unterproportional.

Beispiel 39:

Wir betrachten die folgende Kostenfunktion K(x)=50 + 10x-3x² + 0,05x³. Berechne die Grenzkosten, die gesamten Durchschnittskosten sowie die variablen Durchschnittskosten.

Die Grenzkosten lauten K(x) = 10 – 6x + 0,15x², die gesamten Durchschnittskosten liegen bei .

Variable Durchschnittskosten dividieren ausschließlich die variablen Kosten Kv(x) durch die Menge x, man erhält .

Wir unterscheiden im folgenden

  • Betriebsminimum und
  • Betriebsoptimum.

Das Betriebsminimum ist das Minimum der variablen Durchschnittskosten und gleichzeitig die kurzfristige Preisuntergrenze. Hingegen versteht man unter dem Betriebsoptimum das Minimum der totalen Durchschnittskosten und damit die langfristige Preisuntergrenze (s. Abb.57).

Halten wir dies tabellarisch fest:

BegriffrechnerischBedeutung
Betriebsminimumkfr. DK› min!kurzfristige Preisuntergrenze
Betriebsoptimumlfr. DK› min!langfristige Preisuntergrenze

Tab. 4: Betriebsminimum und Betriebsoptimum

Beispiel 40:

Wieder sei die Kostenfunktion in Beispiel 38 gegeben durch K(x)=50 + 10x – 3x² + 0,05x³. Errechne die Bedingung für ein Betriebsoptimum (nach der konkreten Lösung ist nicht gefragt).

Wir suchen nun das Minimum der totalen Durchschnittskosten, das sog. Betriebsoptimum. Hierzu leitet man die Durchschnittskosten ab und setzt diese Ableitung gleich null. Man errechnet und damit – 50 – 3·x2 + 0,1·x3 = 0. Hiernach sind approximierende Verfahren notwendig, um die Lösung zu ermitteln, auf die wir allerdings nicht eingehen werden.

Das Betriebsoptimum gilt als sog. langfristige Preisuntergrenze, das Betriebsminimum als kurzfristige Preisuntergrenze.

Das Betriebsminimum gibt das Minimum der variablen Durchschnittskosten an, das Betriebsoptimum hingegen das Minimum der totalen Durchschnittskosten.

LAMBERT-METHODE:

Man hat allerdings noch eine andere Möglichkeit, sowohl das Betriebsminimum als das auch Betriebsoptimum zu errechnen. Das Betriebsoptimum lässt sich nämlich ebenso bestimmen als Schnittpunkt der Grenzkosten mit der Kurve der variablen Durchschnittskosten, das Betriebsoptimum auch als Schnittpunkt der Grenzkosten mit den totalen Durchschnittskosten.

Die beiden Berechnungsmöglichkeiten sowohl des Betriebsminimums als auch des Betriebsoptimums fasst die folgende Tabelle zusammen.

 

Tab. 5: Betriebsminimum und Betriebsoptimum

Zeigen wir dies bildlich in Abb. 57:

Abb. 57: Betriebsminimum (BM) und -Optimum (BO)

Beispiel 41:

Die Unternehmung Frieda AG hat konstante Grenzkosten in Höhe von 5 €, bei einer Ausbringungsmenge von 20 ME liegen die gesamten Stückkosten bei 30 €/ME. Wie lautet die Gesamtkostenfunktion?

Da die Grenzkosten der Unternehmung konstant sind, muss es sich um eine lineare Kostenfunktion von der Gestalt K(x) = a + b·x handeln. Die Grenzkosten sind hierbei K'(x) = b. Mithin ist b = 5. Man setzt dies in die gesamten Durchschnittskosten ein und erhält = 30, mit anderen Worten: a = 500. Die Gesamtkostenfunktion lautet also

K(x) = 500 + 5x.

Beispiel 42:

Eine Kostenfunktion ist K(x) = 15 + 3·x.

a) Ermittle die Durchschnittskosten für eine Ausbringungsmenge von 10 ME sowie für eine Ausbringungsmenge von 20 ME.

b) Berechne die variablen Stückkosten.

c) Kalkuliere die Grenzkosten.

a) Die totalen Durchschnittskosten berechnen sich als . Wenn man hierin die Mengeneinheiten von 10 und von 20 einsetzt, so erhält man TDK(10) = 4,5 und TDK(20) = 3,75.

b) Die variablen Durchschnittskosten (= variablen Stückkosten) errechnen sich als . Sie sind also konstant gleich drei, unabhängig von der Ausbringungsmenge x.

c) Die Grenzkosten sind ebenfalls unabhängig von der Ausbringungsmenge x, sie betragen konstant K‘ = GK = 3.

 

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