Mikroökonomie: 4.4 Marktformen

4.4 Marktformen

Man unterscheidet, nach der Anzahl der Anbieter,

  • Monopol,
    • genau ein Anbieter
  • Oligopol
    • mehrere, aber nicht viele, Anbieter
    • speziell das Duopol
      • genau zwei Anbieter und
  • Polypol
    • viele Anbieter.

Das sog. Marktformenschema nach Stackelberg sieht wie folgt aus:

Zahl der Anbieter

Zahl der Anbieter

genau einer mehrereviele
genau einer PolypolOligopsonMonopson
mehrereOligopolbilaterales

Oligopol

beschränktes Monopson
viele Monopol beschränktes Monopol bilaterales

Monopol

Tab. 7: Marktformenschema nach Stackelberg

4.4.1 Polypol

4.4.1.1 Gewinnmaximierung

Im Polypol ist der Preis für den einzelnen Anbieter gegeben, er kann ihn nicht verändern. Der Preis ist also ein Datum.

LAMBERT-REGEL:

Sprich dieses Wort nicht aus wie das deutsche Wort „Datum“, also mit langem „a“. Da es aus dem Lateinischen kommt und für „gegeben“ steht, muss es mit kurzem „a“ gesprochen werden, etwa so wie in „Dattel“.

Das Gewinnmaximierungskalkül ändert sich daher an einer entscheidenden Stelle:

G = E – K = p·x – K(x). Da nun der Preis p gegeben ist, kann er konstant gesetzt werden: p = p0, also

G = p0·x – K(x). Bildet man nun den Grenzgewinn, so erhält man

G´= p0 – K´(x). Setzt man dies gleich null und löst auf, so lautet das Ergebnis schließlich

p0 = K´(x) Preis = Grenzkosten Gewinnmaximierungsregel im Polypol.

4.4.1.2 Wohlfahrtsbetrachtungen

Das folgende Bild zeigt das Gleichgewicht in einem polypolistischen Markt:

 

Abb. 65: Wohlfahrt = Konsumenten- zzgl. Produzentenrente

Die Konsumentenrente ist durch die Fläche KR = pmaxGp* gegeben, die Produzentenrente durch die Fläche Dp*G. Die Wohlfahrt insgesamt umfaßt die Konsumenten – und die Produzentenrente, also insgesamt das Dreieck WF = KR + PR = pmaxGp·pmaxGp* DpmaxG.

MERKE:

In keiner anderen Marktform ist die gesamte Wohlfahrt so groß wie im Polypol, die Fläche der gesamten Wohlfahrt ist, mit anderen Worten, maximal.

4.4.2 Monopol

Das Gewinnmaximierungskalkül führt auf den sog. Cournotschen Punkt, also die gewinnmaximale Preis- Mengenkombination im Monopol. Hiernach schauen wir, wie sich die Wohlfahrt durch den Übergang vom Polypol zum Monopol verschlechtert.

4.4.2.1 Cournotscher Punkt

Der Gewinn G lässt sich berechnen als

G = E(x) – K(x),

also als Differenz aus Erlösen und Kosten, die jeweils von der Menge x abhängen.

LAMBERT-REGEL:

Das war eben, also im Kapitel über das Polypol, genauso. Der Unterschied in der Gewinnfunktion ist nur, dass der Preis nun kein Datum mehr ist (also nicht mehr unbeeinflussbar durch den Anbieter). Vielmehr kann er den Preis beeinflussen. Genauer gesagt, kann der Monotpolist

  • entweder den Preis setzen, er akzeptiert dann die Menge (= Preissetzer = Price-maker) oder
  • die Menge setzen, er akzeptiert dann den Preis (= Preisnehmer = Price-taker).

Bildet man den Grenzgewinn, so rechnet man G´(x) = E´(x) – K´(x). Diesen Ausdruck setzt man gleich null und löst auf:

E´(x) = K´(x) Grenzerlös = Grenzkosten Gewinnmaximierungsregel im Monopol.

Im Optimum ist also der Grenzerlös gleich den Grenzkosten.

Das Kalkül zeigt auch die folgende Abbildung 66. Man zeichnet den Schnittpunkt aus Grenzerlös und Grenzkosten und projiziert diesen auf die Preis-Absatz-Funktion.

LAMBERT-REGEL:

Frage: Warum projiziert man den Schnittpunkt rauf auf die Preis-Absatz-Funktion? Warum ist also der Schnittpunkt selbst zwischen Grenzerlös und Grenzkosten nicht schon das Optimum?

Antwort: Weil die gewinnmaximale Menge x* schon gegeben ist und hierzu noch der gewinnmaximale Preis gesucht ist. Der Zusammenhang zwischen Preis und Menge ist aber durch die Preis-Absatz-Funktion (= Nachfragekurve) gegeben, nicht durch die Grenzkosten oder Grenzerlöse.

Also:

MERKE:

Man erhält durch Projektion des Schnittpunkts auf die Preis-Absatz-Kurve den sog. Cournotschen Punkt C. Dieser gibt die für den Monopolisten gewinnmaximale Kombination aus Preis und Menge an.

 

Abb. 66: Cournotscher Punkt = Projektion aus „GK=GE“ auf PAF

4.4.2.2 Rentenbetrachtungen

Die folgende Abbildung zeigt die Wohlfahrt im Monopol, insbesondere die Unterschiede zum Polypol. Da der Preis bei pC liegt (und dieser höher ist als der Polypolpreis p*), ist die Konsumentenrente im Monopol niedriger als im Polypol, nämlich lediglich noch

 

Abb. 67: Konsumentenrente im Monopol

KRMonopol = pmaxpCC (Konsumentenrente im Monopol).

Vergleicht man diese mit jener im Polypol, so erhält man die Differenz

KRPolypol = pmaxp*G (Konsumentenrente im Polypol)

KRMonopol = pmaxpcC (Konsumentenrente im Monopol)

ΔKR = = pMp*GC (Verlust an Konsumentenrente).

Dieser Verlust an Konsumentenrente ist dadurch verursacht, dass die Nachfrager, also die Konsumenten, einen höheren Preis (pc statt p*) für eine geringere Menge (xc statt x*) bezahlen müssen.

Die Produzentenrente aus Abb. 63 im Monopol liegt bei der Summe aus dem Trapez E und dem Dreieck F, also

PRPolypol = pMCHpH + pHHD = pMCHD (Produzentenrente im Monopol).

Die Gesamtwohlfahrt im Monopol liegt also bei

KRMonopol + PRMonopol = pmaxpcC + pMCHD = pmaxCHD.

Wie man sieht, ist die Wohlfahrt insgesamt um die Dreiecksfläche CHG (= Harberger Dreieck = sozialer Wohlfahrtsverlust = Dead-Weight-Loss) kleiner. Dieser Wohlfahrtsverlust hat zwei Ursachen:

  • der Verlust an Konsumentenrente,
  • der Verlust an Produzentenrente.

Der Verlust an Konsumentenrente erklärt sich so: Die Konsumentenrente geht um pcp*GC zurück. Dieser Verlust wird allerdings teilweise aufgefangen durch einen Zuwachs an Produzentenrente, nämlich p*·pcCK. Durch den Preisanstieg von p* auf pC kommt es auf Produzentenseite zu einem Vorteil eben in dieser Höhe. Der Verlust an Konsumentenrente führt also lediglich in Höhe von CKG zu einem endgültigen Verlust.

Der Verlust an Produzentenrente liegt bei GKH, denn durch die Preiserhöhung kommt es zu einem Rückgang der nachgefragten Menge.

MERKE:

Insgesamt ist also der

soziale Wohlfahrtsverlust = Harberger Dreieck = Dead-Weight-Loss

= Verlust an Konsumentenrente + Verlust an Produzentenrente

= CKG + GHK = CHG.

4.4.3 Dyopol

Ein Oligopol hat mehrere Anbieter, die nicht klein sind (Unterschied zum Polypol). Sie sind aber auch nicht so groß wie ein einziger Anbieter (Unterschied zum Monopol).

Beispiele 47:

Der Markt für Benzin ist oligopolistisch geprägt. Es gibt mehrere, recht große, Anbieter.

Speziell im Dyopol (= Duopol) gibt es genau zwei Anbieter.

Wir gehen im folgenden ausschließlich hierauf ein.

Das Gewinnmaximierungsverhalten wird beschrieben durch

  • das Cournot-Modell (= Cournot-Nash-Modell)
    • Mengenwettbewerb,
  • das Stackelberg-Modell
    • Mengenwettbewerb mit
      • Führer und
      • Folger und
  • das Bertrand-Modell
    • Preiswettbewerb.

4.4.3.1 Cournot-Gleichgewicht

Verwechsle das Cournot-Gleichgewicht (= Cournot-Nash-Gleichgewicht) im Duopol nicht mit jenem im Monopol. Es ist zwar von derselben Person entwickelt, hat aber sonst nichts mit dem anderen Modell zu tun.

Beide Akteure treffen eine Entscheidung über ihre zu produzierenden Mengen x1 und x2.

LAMBERT-KOCHREZEPT COURNOT-DUOPOL:

  • Was ist die Preis-Absatz-Funktion p(x) in Abhängigkeit der gesamten Menge x? Sollte diese nicht nach dem Preis p aufgelöst vorliegen, so löse sie zunächst nach p auf.
  • Setze hierin x = x1 + x2 ein, teile also die Gesamtmenge x auf in jene des ersten und jene des zweiten Anbieters.
  • Bilde die Gewinnfunktionen G1 = E1 – K1= p·x1 – (kv1·x1 + Kf1) und G2 = E2 – K2= p·x2 – (kv2 ·x2 + Kf2). Setze hierfür die Preis-Absatz-Funktion für den Ausdruck p jeweils ein.
  • Löse die Klammern auf. Man erhält quadratische Termine.
  • Bilde die Ableitungen dG1/dx1 und dG2/dx2. Leite also die Gewinnfunktionen nach den eigenen Mengen ab.
  • Setze die Ausdrücke gleich null und löse jeweils nach den Mengen x1 und x2 auf. Man erhält die sog. Reaktionsfunktionen.
  • Setze die eine Reaktionsfunktion (z.B. x1) in die des anderen (z.B. x2) ein und löse nach der verbliebenen Menge auf.

Wir machen uns die Vorgehensweise an der folgenden Aufgabe klar.

Beispiel 48:

Auf einem Markt mit zwei Anbietern lautet die Preis-Absatz-Funktion p = 40 – 8·x. Die Kostenfunktionen liegen bei K1 = 2·x1 + 3 für den ersten und K2 = x2 + 2 für den zweiten Anbieter.

Berechne die Reaktionsfunktionen und das Optimum bei gleichzeitiger Mengenentscheidung.

LAMBERT-REGEL:

  • Entscheidend ist das Wort „gleichzeitig“ bei der Mengenentscheidung, hierdurch wird klar, dass das Cournot-Modell anzuwenden ist.
  • Hieße es „sukzessive Mengenentscheidung“, so wäre Stackelberg anzuwenden.

Im obigen Beispiel ist die Preis-Absatz-Funktion zunächst p = 4 – 8·x = 4 – 8·(x1 + x2) = 4 – 8·x1 – 8·x2. Einsetzen dieser Information sowie der beiden Kosten in die beiden Gewinnfunktionen liefert

G1 = p·x1 – K1 = (4 – 8·x1 – 8·x2)·x1 – (2·x1 + 3) und

G2 = p·x2 – K2 = (4 – 8·x1 – 8·x2)·x2 – (x2 + 2).

Man löst die Klammern jeweils auf und erhält

G1 = 2·x1 – 8·x12 – 8·x1·x2 – 3 sowie

G2 = 3·x2 – 8·x22 – 8·x1·x2 – 2.

Die Fixkosten sind also – klarerweise – völlig irrelevant für das Entscheidungskalkül.

Schließlich leitet man die Gewinnfunktionen nach der jeweiligen (!) Variablen ab, d.h. es wird G1 nach x1 und G2 nach x2 differenziert:

dG1/dx1 = 2 – 16·x1 – 8·x2 und

dG2/dx2 = 3 – 8·x1 – 16·x2.

Schließlich werden beide Ausdrücke gleich null gesetzt und nach den Ausdrücken aufgelöst, nach denen differenziert wurde (also die erste Gleichung nach x1, die zweite nach x2). Man rechnet 2 – 16·x1 – 8·x2 = 0 =16·x1 = 2 – 8·x2 = x1 = 1/8 – 0,5·x2, also:

x1 = -0,5·x2 + 1/8 und x2 = -0,5·x1 + 3/16.

Dies sind die beiden Reaktionsfunktionen. Sie geben an, wie der jeweilige Anbieter seine eigene Menge anpasst, wenn der andere Anbieter eine konkrete Menge vorgibt. So produziert der erste Anbieter eine Menge von x1 = 1/8 = 0,125 ME, wenn der andere nichts, also x2 = 0, vorgibt. Genauso stellt der zweite Anbieter eine Menge von 3/16 her, wenn der erste nichts produziert.

Wenn man schließlich die erste Reaktionsfunktion in jene des zweiten einsetzt (gleichzeitige Mengenentscheidung!), so erhält man

x2 = -0,5·x1 + 3/16

= -0,5·(-0,5·x2 + 1/8) + 3/16

= 0,25·x2 + 1/8

und also x2 = 1/6 sowie

x1 =-0,5·(1/6) + 1/8

= 4/96

= 1/24.

Die gesamte am Markt angebotene Menge liegt folglich bei xCournot-Nash = x1 + x2 = 1/24 + 1/6 = 5/24 = 0,20833.

4.4.3.2 Stackelberg-Gleichgewicht

Wie schon im Kapitel über das Cournot-Modell angedeutet, kommt es bei Stackelberg nicht zu einer gleichzeitigen Mengenentscheidung, sondern zu einer sukzessiven. Genauer:

  • Zunächst entscheidet der Führer (= Stackelberg-Führer = Leader) über seine produzierte Menge,
  • danach kalkuliert der Folger (= Stackelberg-Folger = Follower) seine Menge.

Für das Ausrechnen in der Klausur erfolgt das Schema allerdings gewissermaßen andersrum. Im Folgenden sei der erste Anbieter der Führer, der zweite hingegen der Folger.

LAMBERT-KOCHREZEPT METHODE VON STACKELBERG:

1. Betrachte zunächst den Folger und seine Gewinnfunktion

G2(x2) = p(x1 + x2)·x2 – K2(x2). Berechne hierzu die Reaktionsfunktion des Folgers x2(x1).

2. Berechne danach die Gewinnfunktion des Führers sowie seine Reaktionsfunktion x1 = x1(x2).

3. Setze die Reaktionsfunktion des Folgers in jene des Führers ein. Errechne dadurch die optimale Menge des Stackelberg-Führers. Dieser gibt also seine Menge vor.

4. Berechne im Anschluss die Menge des Folgers durch Einsetzen in dessen Reaktionsfunktion. Der Folger reagiert mit seiner Menge auf jene des Führers.

Wir kalkulieren dieses Kochrezept am Beispiel aus dem obigen Kapitel:

Beispiel 49:

Die Marktnachfrage liege bei p = 10 – 0,5·x. Die Grenzkosten des ersten Unternehmens liegen bei 5 €, jene des zweiten bei 4 €.

a) Berechne die beiden optimalen Mengen bei gleichzeitiger Mengenentscheidung,

b) wenn der zweite Anbieter sich an der Menge des ersten orientiert.

Berechne in beiden Fällen auch die Marktnachfrage.

 

Abb. 68: Cournotscher Punkt bei konstanten Grenzkosten

a) Hier rechnet man das Cournot-Modell, nicht jenes von Stackelberg.

LAMBERT-METHODE:

Wir rechnen, obwohl wir im Stackelberg-Kapitel sind, trotzdem auch die Methode von Cournot, damit man die Unterschiede sieht.

Zunächst löst man die Preis-Absatz-Funktion nach der (Gesamt-)Menge auf. Aus q = 10 – 0,5x wird daher

p = 10 – 0,5·x bzw. p = 10 – 0,5·(x1 + x2).

Die Gewinnfunktion des ersten Anbieters lautet

G1(x1) = p(x)·x1 – K(x1)

= p(x1 + x2)·x1 – K(x1)

LAMBERT-METHODE:

Man beachte also, dass der Preis von der Gesamtmenge abhängt, deshalb rechnet man p(x1 + x2). Anschließend wird dieser Preis allerdings mit der Menge lediglich des jeweiligen Anbieters multipliziert. Man multipliziert also mit x1, nicht mit x (= x1 + x2)!.

Also wird die Gewinnfunktion zu

G1(x1) = p(x1 + x2)·x1 – K(x1)

= [(10 – 0,5·(x1 + x2)]·x1 – 5·x1

= 5·x1 – 0,5·x12 – 0,5·xx2

Ableiten nach x1 liefert dG1/dx1 = 5 – x1 – 0,5·x2. Wir setzen gleich null und lösen nach x1 auf: 5 – x1 – 0,5·x2 = 0, also

x1 = 5 – 0,5·x2. Dies ist die Reaktionsfunktion des ersten Anbieters.

Das Kalkül für den zweiten Anbieter ist identisch. Man rechnet

G2(x2) = p(x1 + x2)·x2 – K(x2)

= [(10 – 0,5·(x1 + x2)]·x2 – 4·x2

= 6·x1 – 0,5·x22 – 0,5·xx2

Dies leitet man ab, setzt die Ableitung gleich null und löst nach x2 auf:

dG2/dx2 = 6 – 0,5·x1 – x2 = 0, also x2 = 6 – 0,5·x1.

Zusammengefasst lauten die Reaktionsfunktionen der beiden Anbieter also

x1 = 5 – 0,5·x2 (Reaktionsfunktion des ersten Anbieters),

x2 = 6 – 0,5·x1 (Reaktionsfunktion des zweiten).

 

Abb. 69: Reaktionsfunktionen der beiden Anbieter

Einsetzen der Reaktionsfunktion des zweiten Anbieters in jene des ersten liefert

x1 = 5 – 0,5·x2

= 5 – 0,5·(6 – 0,5·x1)

= 2 + 0,25·x1.

Man löst hiernach nach x1 auf: 0,75·x1 = 2, also

x1 = 8/3 = 2,667 ME. Die Menge des zweiten Anbieters liegt bei

x2 = 6 – 0,5·x1 = 6 – 0,5·8/3 = 4,667 ME.

Die Marktnachfrage lautet xStackelberg = x1 + x2 = 2,667 + 4,667 = 7,33 ME.

b) Die sukzessive Mengenentscheidung (= Stackelberg-Modell) wird anders berechnet.

LAMBERT-REGEL:

Nun rechnet man im Stackelberg-Modell von hinten nach vorne. Man kalkuliert also zunächst die Reaktionsfunktion des Folgers, danach erst geht man zum Führer über.

Zunächst also die Reaktionsfunktion des zweiten Anbieters, welche in die Gewinnfunktion (nicht die Reaktionsfunktion!) des ersten eingesetzt wird.

Also:

G2(x2) = p(x1 + x2)·x2 – K(x2)

= [(10 – 0,5·(x1 + x2)]·x2 – 4·x2

= 6·x1 – 0,5·x22 – 0,5·xx2.

Dies wird nach x2 abgeleitet, gleich null gesetzt und schließlich nach x2 aufgelöst. Man rechnet also

dG2/dx2 = 6 – 0,5·x1 – x2 = 0, also

x2 = 6 – 0,5·x1.

LAMBERT-REGEL:

Dies hatten wir auch oben erhalten. Man sieht also, weshalb in den meisten Klausuren zunächst das Cournot-Modell und danach erst jenes von Stackelberg durchgerechnet wird: weil die Hälfte (nämlich die Reaktionsfunktion des Folgers) einfach übernommen werden kann.

Der Stackelberg-Folger hat also die Reaktionsfunktion x2 = 6 – 0,5·x1. Diese setzt man in die Gewinnfunktion des Führers ein und leitet diese nach der verbliebenen Variablen, nämlich x1, ab:

G1(x1) = p(x1 + x2)·x1 – K(x1)

= (10 – 0,5·(x1 + x2))·x1 – 5·x1

= 5·x1 – 0,5·x12 – 0,5·xx2

= 5·x1 – 0,5·x12 – 0,5·x( 6 – 0,5·x1)

= 5x1 – 0,5·x12 – 3·x1 + 0,25x12

= 2·x1 – 0,25·x12.

Ableiten nach x1, gleich null setzen und auflösen nach der Menge x1 führt auf dG1/dx1 = 2 – 0,5·x1 = 0, also x1 = 4.

Der Führer gibt also die Menge vor. Hiernach erst reagiert der Folger: er reagiert mit Einsetzen der Menge des Stackelberg-Führers in seine Reaktionsfunktion, also mit x2 = 6 – 0,5·4 = 4.

Die gesamte Nachfrage (= Marktnachfrage) liegt daher bei

xStackelberg = x1 + x2 = 4 + 4 = 8.

LAMBERT-REGEL:

Die Gesamtmenge ist daher bei sukzessiver Mengenentscheidung (= Stackelberg-Modell) größer als bei gleichzeitiger (= Cournot-Modell), nämlich xCournot-Nash = 0,20833 und xStackelberg = 8.

Kalkulieren wir noch die Gewinne im Stackelberg-Modell. Sie betragen G1(x1) = p(x1 + x2)·x1 – K(x1)

= …

= 2·x1 – 0,25·x12

= 2·4 – 0,25·42

= 8 – 0,25·16

= 8 – 4

= 4 und

G2(x2) = p(x1 + x2)·x2 – K(x2)

= …

= 6·x1 – 0,5·x22 – 0,5·xx2

= 6·4 – 0,5·42 – 0,5·4·4

= 24 – 8 – 8

= 8.

4.4.3.3 Bertrand-Gleichgewicht

Im Bertrand-Wettbewerb konkurrieren die beiden Anbieter über den Preis, nicht über die Menge. Annahmegemäß läuft der Wettbewerb

  • über homogene Güter und bei
  • gleichzeitiger Preisentscheidung.

Das Ergebnis des Bertrand-Preiswettbewerbs ist verblüffend einfach.

Jeder Anbieter handelt nach der Regel:

Preis = Grenzkosten. (Optimalitätsbedingung bei Bertrand).

Wie kann das sein?

Da die Güter homogen sind, werden die Nachfrager nur dort abnehmen, wo der Preis geringer ist.

Beispiel 50:

Die Nachfragefunktion sei p = 10 – 0,5·x, beide Anbieter haben identische Grenzkosten von jeweils GK1 = GK2 = GK = 5 €.

Berechne die Mengen und den Preis im Bertrand-Wettbewerb.

Beide Unternehmen werden den Preis in Höhe der Grenzkosten ansetzen, also p1 = p2 = GK = 5 €. Die Gesamtmenge ist damit x = -2·p + 20 = -2·5 + 20 = 10, diese teilt sich auf beide Unternehmen im gleichen Verhältnis auf, d.h. jedes Unternehmen produziert x/2 = 5 ME. Die Gewinne sind jeweils G1 = G2 = p·x – K = 5·5 – 5·5 = 0 €.

MERKE:

Es handelt sich beim Bertrand-Ergebnis um ein Nash-Gleichgewicht, denn niemand hat einen Anreiz, seinen Preis zu senken.

Was würde passieren, wenn z.B. Unternehmen 1 seinen Verkaufspreis von 5 € auf 4 € senkt? Die Nachfrager würden komplett – wegen der Homogenität des Gutes – zu ihm abwandern, das Unternehmen 2 hätte keinen Absatz mehr. Problematisch ist für den Anbieter 1 allerdings, dass er unterhalb seiner Grenzkosten anböte, also einen Verlust einführe. Deshalb wird Unternehmen 1 seinen Preis nicht senken.

Genauso wird er aber seinen Preis nicht erhöhen, denn sein Konkurrent erhielte die gesamte Nachfrage, der eigene Gewinn G1 sänke auf einen Wert von G1 = 0 €.

Kurz gesagt, hat kein Unternehmen einen Anreiz, etwas an der Preiskonstellation Preis = Grenzkosten zu ändern.

Beispiel 51:

Berechne für die obige Konstellation einer Nachfragekurve von p = 10 – 0,5·x und identischen Grenzkosten von jeweils 5 € zum Vergleich das Cournot-Nash-Gleichgewicht.

Wegen p = 10 – 0,5·x = 10 – 0,5·(x1 + x2) = 10 – 0,5·x1 – 0,5·x2 sind die Gewinnfunktionen

G1 = p·x1 – K1 = (10 – 0,5·x1 – 0,5·x2)·x1 – 5·x1 und

G2 = p·x2 – K2 = (10 – 0,5·x1 – 0,5·x2)·x2 – 5·x2.

Man löst die Klammern jeweils auf und erhält

G1 = 5·x1 – 0,5·x12 – 0,5·x1·x2 sowie

G2 = 5·x2 – 0,5·x22 – 0,5·x1·x2.

Schließlich leitet man die Gewinnfunktionen nach der jeweiligen (!) Variablen ab, d.h. es wird G1 nach x1 und G2 nach x2 differenziert:

dG1/dx1 = 5 – x1 – 0,5·x2 und

dG2/dx2 = 5 – x2 – 0,5·x1.

Schließlich werden beide Ausdrücke gleich null gesetzt und nach den Ausdrücken aufgelöst, nach denen differenziert wurde (also die erste Gleichung nach x1, die zweite nach x2):

dG1/dx1 =5 – x1 – 0,5·x2 = 0, also x1 = 5 – 0,5·x2 und

dG2/dx2 = 5 – x2 – 0,5·x1. = 0, also x2 = 5 – 0,5·x1.

Dies sind die beiden Reaktionsfunktionen, welche ineinander eingesetzt werden:

x1 = 5 – 0,5·x2

= 5 – 0,5·(5 – 0,5·x1)

= 5 – 2,5 + 0,25·x1

= 2,5 + 0,25·x1.

Wir lösen nach der verbliebenen Variablen x1 auf und erhalten 0,75·x1 = 2,5 und damit x1 = 3,33 ME: Die andere Menge ist x2 = 5 – 0,5·x1 = 5 – 0,5·3,33 = 3,33. Die Gesamtmenge liegt also bei x = x1 + x2 = 3,33 + 3,33 = 6,67, der Preis ist daher p = 10 – 0,5·x = 10 – 0,5·6,67 = 6,67 €. Unternehmen 1 erzielt einen Gewinn von

G1= p·x1 – K(x1) = 6,67·3,33 – 5·3,33 = 50/9 = 5,55 €.

Halten wir fest:

Modell

Preis

Mengen

Gewinne

p1

p2

x1

x2

x

G1

G2

Cournot6,676,673,333,336,675,555,55
Stackelberg6644848
Bertrand 55551000

Tab. 8: Vergleich Ergebnisse Cournot, Stackelberg und Bertrand

 

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