Mikroökonomie: 5.1 Haushaltstheorie

5 Lösungen der Aufgaben

5.1 Haushaltstheorie

Lösung 1:

a) Die Nachfrage nach Benzin ist relativ preisunelastisch, da der Wert der direkten Preiselastizität der Nachfrage betragsmäßig unterhalb von 1 ist. Gleichzeitig ist der Wert kleiner als 0, was bedeutet, dass ein entgegengerichteter Zusammenhang vorliegt.

b) Wir erinnern uns an folgendes:

LAMBERT-REGEL:

Eine Elastizität η (die kleiner als 0 ist) bedeutet:

  • wenn der Preis um 1 % steigt, dann sinkt die nachgefragte Menge um η %,
  • wenn hingegen der Preis um a % steigt, so fällt die nachgefragte Menge um (η∙a)%.

Steigt also der Preis um 3 %, so fällt die nachgefragte Menge nach Benzin um 3∙0.8 = 2,4 %.

c) Fällt der Preis um 4 %, so steigt (!) die nachgefragte Menge um 4∙0,8 = 3,2 %.

Aufgabe 2:

a) Wir halten zunächst die allgemeine Regel fest.

MERKE:

Das Optimum finden wir – bei streng konvexen Indifferenzkurven – dort, wo das Verhältnis der Grenznutzen dem Preisverhältnis entspricht.

Also muss gelten:

= .

Unter Verwendung der obigen Nutzenfunktion und der gegebenen Preise ergibt sich

= .

Man dividiert die x – und die y-Terme und erhält

= = 3, also 3·x-1·y = 3, d.h. = 3 und somit y= x.

Durch Einsetzen dieser Optimalitätsbedingung und der gegebenen Preise in die Budgetgrade m = x·px + y·py erhalten wir y·3 + y·1 = 8, hieraus folgt wiederum y = 2.

Die Nachfrage des Haushaltes nach y kann nun wieder in die obige Optimalitätsbedingung x = y eingesetzt werden. Hieraus folgt x = 2.

b) Den maximalen Nutzen des Haushaltes erhalten wir durch Einsetzen der Nachfragen für die jeweiligen Güter in die Nutzenfunktion, nämlich

Umax = 23/2·21/2 = 23/2 + 1/2 =24/2 = 22 = 4.

Aufgabe 3:

a) Gehen wir die Aufgabe in einzelnen Schritten an.

1.Schritt

Aufstellen der Optimalitätsbedingung. Das Verhältnis der Grenznutzen, welches gleich dem Preisverhältnis sein soll, führt zu

= x1-1/2-1/2·x21/2 + 1/2= x2 = (25/2)·x1

2.Schritt

Einsetzen dieser Bedingung in die Budgetbedingung m = x1·p1 + x2·p2 = x1·25 + x2·2 = 20 führt zu:

x1·25 + ((25/2)·x1)·2 = 20

x1·25 + 25·x1 = 20

50·x1 = 20

x1 = 2/5 = 0,4

3.Schritt

Diese optimale Menge für das erste Gut setzen wir ein in das Ergebnis aus Schritt 1 und erhalten

x2 = (25/2)·2/5

= 50/10

= 5.

b) Wir notieren zunächst ein

LAMBERT-KOCHREZEPT SUBSTITUTIONSEFFEKT SLUTZKY:

  1. Berechnung des zusätzlichen Einkommens m, welches benötigt wird, um sich trotz der Preiserhöhung p immer noch das gleiche Güterbündel leisten zu können, d.h. kalkuliere m=p·x
  2. Berechnung der Nachfragen mit dem Einkommen ms = malt + m und neuen Preisen pneu.
  3. Bildung der Differenz zwischen der in Schritt 2 berechneten Nachfrage und der Nachfrage vor der Preisveränderung.

1. Schritt

Da der Preis von p1 = 25 auf p1neu = 50 gestiegen ist, ergibt sich ein ∆p =p2 – p1neu = 25. Mit der alten Nachfrage von x1 = 0,4 erhalten wir ein ∆m= ∆p·x = 25·0,4 = 10.

MERKE:

Wäre der Preis von 50 auf 25 gefallen, so wäre ∆p = -25.

2. Schritt

Durch den neuen Preis des Gutes 1 ergibt sich eine neue Optimalitätsbedingung. Wir erhalten nunmehr:

x2/x1 = 50/2 = 25, also x2 = 25·x1.

Einsetzen in die neue Budgetbedingung m = x1·50 + x2·2 = malt + ∆m führt zu:

x1·50 + (25·x1)·2 = 20 + 10 100·x1 = 30 x1 = 0,3.

3. Schritt

Der Substitutionseffekt nach Slutzky ist demnach SESlutzky = 0,3 – 0,4 = -0,1.

LAMBERT-KOCHREZEPT SUBSTITUTIONSEFFEKT HICKS:

  1. Berechne das Einkommen, das benötigt wird, um das Nutzenniveau bei geänderten Preisen konstant zu halten.
  2. Berechne die Nachfragen mit dem Einkommen mH und neuen Preisen pneu.
  3. Bilde die Dfferenz zwischen der in Schritt 2 berechneten Nachfrage und der Nachfrage vor der Preisveränderung.

1. Schritt

Berechnung des Nutzenniveaus bei den alten Nachfragen x1 = 0,4 und x2 = 5. Wir setzen die Nachfragen in die Nutzenfunktion U(x1,x2) = x11/2x21/2 ein und erhalten

U(x1,x2) = 0,41/2·51/2 = (0,4·5)1/2 = 21/2.

Nun berechnen wir die Nachfragen nach Gut 1 und Gut 2 unter Verwendung des Einkommens mH und dem neuen Preis pneu = 50.

Wir setzen die Optimalitätsbedingung, welche wir bereits bei der Berechnung des Substitutionseffektes nach Slutzky verwendet haben (x2 = 25·x1) in die Budgetbedingung mH = x1·50 + x2·2 ein. So erhalten wir

x1·50 + ((50/2)·x1)·2 = mH

x1·100 = mH

x1 = mH/100.

Einsetzen dieser Nachfrage in die Optimalitätsbedingung führt zu:

x2 = (50/2)·(mH/100) = mH/4.

Einsetzen dieser Nachfragen in die Nutzenfunktion ergibt

U(x1,x2) = (mH/100)1/2·(mH/4)1/2

= mH1/2/10·mH1/2/2

= mH1/2 + 1/2 /20

= mH/20.

Nun soll das Nutzenniveau U = mH/20 genauso hoch sein wie das Nutzenniveau bei alten Preisen und altem Einkommen. Es war U(0,4;5) = 0,40,5·50,5 = (0,4·5)0,5 = 21/2.

Wir setzen also beide Nutzenniveaus gleich und lösen nach mH auf.

21/2 = mH/20

mH = 21/2·20 = 28,28

Wir haben das Einkommen mH berechnet, welches der Konsument benötigt, um bei geänderten Preisen immer noch das gleiche Nutzenniveau zu erreichen.

2.Schritt

Zur Berechnung der Nachfrage mit den neuen Preisen und dem neuen Einkommen mH benutzen wir nun einfach die allgemeine Nachfragen (mH/100), welche wir schon in Schritt 1 berechnet hatten und setzen das Einkommen mH = 21/2·20 ein. Demnach folgt:

x1 = (21/2·20)/100

= 0,2828

3.Schritt

Zur Berechnung des Substitutionseffektes für das Gut bilden wir nun die Differenz der Nachfrage bei alten Preisen und altem Einkommen und der in Schritt 2 berechneten Nachfrage. Wir erhalten: SEHicks = 0,2828 – 0,4 = – 0,117.

MERKE:

Der Substitutionseffekt nach Hicks und der Substitutionseffekt nach Slutzky haben immer dieselbe Richtung, hier sind beide negativ. Allerdings können die Beträge der Effekte und damit die Stärken durchaus verschieden sein, hier nämlich SESlutzky = – 0,1 und SEHicks = – 0,117.

Normalerweise sind Substitutionseffekte immer negativ. Dies ist bedingt durch die übliche Annahme der Konvexität der Indifferenzkurven. Davon abweichende Annahmen können jedoch auch schonmal zu positiven Substitutionseffekten führen.

MERKE:

So ist z.B die Frage: „Ist es richtig, dass der Substitutionseffekt nach Hicks positiv ist, wenn der Substitutionseffekt nach Slutzky positiv ist” mit „ja” zu beantworten.

c) Zunächst ein Rechenschema.

LAMBERT-KOCHREZEPT EINKOMMENSEFFEKT:

  1. Berechnung der Nachfragen bei altem Einkommen und neuen Preisen.
  2. Bildung der Differenz zwischen der in Schritt 1 berechneten Nachfrage und der in Schritt 2 beim Substitutionseffekt berechneten Nachfrage mit neuem Einkommen und neuen Preisen.

1.Schritt

Wir setzen die Optimalitätsbedingung mit neuen Preisen (x2 = 25·x1 ) in die Budgetbedingung mit altem Einkommen und neuem Einkommen (m = x1·50 + x2·2 = 20) ein und erhalten:

x1·50 + 25·x1·2 = 20 100·x1 = 20 x1 = 0,2 = x1.

2.Schritt

Bildung der Differenz zwischen der oben berechneten Nachfrage x1 = 0,2 und der in Schritt 2 beim Substitutionseffekt berechneten Nachfragen. Für die Berechnung nach Slutsky ist x1 = 0.3 und nach Hicks x1 = 0,2828. Somit ergibt sich der Einkommenseffekt nach Slutzky mit:

EESlutzky = 0,2 – 0,3 = -0,1

und der Einkommenseffekt nach Hicks mit:

EEHicks = 0,2 – 0,2828 = -0,0828.

MERKE:

Der Einkommenseffekt nach Hicks und der Einkommenseffekt nach Slutzky können durchaus unterschiedliche Richtungen haben. Hier sind allerdings beide negativ.

d) Der Gesamteffekt ist einfach die Addition der beiden Effekte; einmal nach Hicks und einmal nach Slutzky. Somit ergibt sich der Gesamteffekt durch:

GE = SESlutzky + EESlutzky = -0,1 + (-0,1) = – 0,2

bzw. durch:

GE = SEHicks + EEHicks = -0,117 + (- 0,0828) = -0,2.

MERKE:

Der Gesamteffekt ist natürlich in beiden Fällen gleich, da dieser nichts anderes beschreibt als den Effekt auf die Nachfrage nach Gut 1, wenn sich der Preis verändert.

Aufgabe 4:

a) Zunächst ein Rechenschema zur Vorgehensweise bei perfekten Komplementen.

LAMBERT-KOCHREZEPT

NACHFRAGE BEI PERFEKTEN KOMPLEMENTEN:

  1. Bildung des Konsumverhältnisses der beiden Güter und Umformen nach einem der beiden Güter, z.B. nach x2.
  2. Einsetzen der Funktion für x2 in die Budgetbedingung und Lösen nach x1 ergibt die Nachfrage nach Gut 1
  3. Einsetzen der Nachfrage nach Gut 1 in Gleichung des Konsumverhältnisses und umformen nach x2 ergibt die Nachfrage nach Gut 2.

1.Schritt

Bei den Gütern handelt es sich um perfekte Komplemente. Diese werden immer in einem festen Verhältnis konsumiert. Hier z.B gilt x1/x2 = 1/3.

MERKE:

Bei perfekten Komplementen und einer allgemeinen Nutzenfunktion der Form U = min{a·x1,b·x2} werden die Güter im Verhältnis x1/x= b/a konsumiert.

Durch Umformen nach x2 erhalten wir x2 = 3·x1.

2.Schritt

Einsetzen der Bedingung aus Schritt 1 in die Budgetbedingung B = 5·x1 + 2·x2 = 11 ergibt:

5·x1 + 2·(3·x1) = 11 11·x1 = 11 x1 = 1.

3.Schritt

Einsetzen von x1 = 1 in das Konsumverhältnis x1/x2 = 1/3 liefert:

1/x2 = 1/3 x2 = 3.

b) Einsetzen der Nachfragen nach Gut 1 und Gut 2 in die Nutzenfunktion

U = min{3·x1, x2} ergibt:

U = min{3·1, 3} = min{3,3} = 3.

c) Da sich das optimale Konsumverhältnis x2 = 3·x1 nicht geändert hat, können wir dieses natürlich weiter verwenden. Nur müssen wir nun dieses in die Budgetrestriktion 16·x1 + 2·x2 = 11 mit dem neuen Preis p1neu= 16 einsetzen. Dies führt zu B =

16·x1 + 2·(3·x1) = 11 22·x1 = 11 x1 = 0,5.

Der Gesamteffekt ist somit GE =x1neu – x1alt = 0,5 – 1 = -0,5.

Wie groß ist nun der Substitutionseffekt nach Hicks? Da es sich um perfekte Komplemente handelt, werden die Güter immer in einem festen Verhältnis konsumiert. Dies bedeutet, dass nicht substituiert wird, es handelt sich ja um Komplemente und nicht um Substitute. Der Substitutionseffekt ist somit gleich null.

MERKE:

Bei perfekten Komplementen ist der Substitutionseffekt immer null.

d) x1EE = -0,5, da x1GE = x1SE + x1EE =› -0,5 = 0 + x1EE=› x1EE = 0,5.

Aufgabe 5:

a) Es sei x1 Menge der Cola-Flaschen und p1 der Preis für eine Flasche, x2 ist die Menge der Tüten der Kartoffelchips, p2 der Preis für eine Tüte. Das Geldeinkommen B ist B = 10 €, außerdem sind die Mengen x1 und x2 am Anfang bekannt, nämlich x1 = 9 und x2 = 2. Also gilt

10 = p1·9 + p2·2 vorher bzw.

10 = p1·3 + p2·14 nachher.

Man löst nach den beiden Preisen auf. Es gilt 10 = 10, mithin 9·p1 + 2·p2 = 3·p1 + 14·p2 und also 6·p1 = 12·p2, d.h. p1 = 2p2. Damit geht man in (I) und erhält 10 = 9·p1 + 2·p2 = 9·(2·p2) + 2·p2 = 20·p2, d.h. p2 = 0,5. Der Preis für die Cola-Flaschen liegt damit bei p1 = 2·p2 = 2·0,5 = 1 €.

b) Damit ist bekannt, dass die Budgetgerade durch

B = p1·x + p2·y =0,5·x1 + 1·x2

gegeben ist.

c) Wenn der Nutzen u(x,y)=x·y ist, so muss das Verhältnis der Grenznutzen dem Güterpreisverhältnis gleichgesetzt werden:

(∂u/∂x)/(∂u/ ∂y) = p1/p2 ‹=› y/x = 0,5/1 ‹=› y=0,5·x ‹=› x = 2·y.

Setzen wir dies in die Budgetrestriktion ein:

10 = 0,5·x + 1·y = 0,5·(2·y) + y = y + y = 2·y,

also y = 5 und x = 2·5 = 10.

Ulf sollte also zehn Flaschen Cola und fünf Tüten Chips konsumieren, wenn die Preise und das Budget wie in der Aufgabenstellung angegeben ist.

d) Bei den Nachfragefunktionen setzt man keine konkreten Preise und kein konkretes Budget ein, sondern rechnet allgemein:

(∂u/∂x)/(∂u/ ∂y) = p1/p2 ‹=› y/x = p1/p2 ‹=› y = (p1/p2)·x. Damit geht man in die Budgetbedingung und erhält

B = p1·x + p2·y = p1·x + p2·y = p1·x + p2·(p1/p2)·x.= p1·x + p1·x =2·p1·x, also aufgelöst nach x dann x=B/(2·p1) als Nachfragefunktion nach x und

y= (p1/p2)·x = (p1/p2)·(B/(2·p1)

= B/(2·p2).

e) Wenn der Preis der Cola-Flaschen, also p1, steigt, so bewegt sich die nachgefragte Menge nach dem Gut y nicht, denn p1 ist nicht Bestandteil der y-Funktion. Die beiden Güter sind also weder Substitute noch Komplemente.

Aufgabe 6:

d) Zunächst muss man sicherstellen, dass es sich um streng konvexe Präferenzen handelt, denn ansonsten darf nicht nach dem Ansatz „Verhältnis der Grenznutzen = Güterpreisverhältnis“ gerechnet werden.

Daher löst man zunächst nach y auf:

u0 = lnx + 2·lny ‹=› 2·lny = u0 – lnx

=› lny = 0,5·u0 – 0,5·lnx ‹=› e0,5·u0-0,5·lnx = y

=› y = e0,5u0·e-0,5·lnx ‹=› y = e0,5·u0·x-0,5.

Dies leitet man zweimal (!) nach x ab und erhält

u/∂x = -0,5·e0,5·u·x-1,5 sowie

2u/∂x2 = -0,5·(-1,5) e0,5·u·x-2,5 = 0,75·e0,5·u·x-2,5 > 0.

Da die zweite Ableitung also echt größer als null ist, ist die zugehörige Nutzenindifferenzkurve streng konvex und daher die Lagrange-Methode inklus. des o.e. Zwischenergebnisses anwendbar.

Man rechnet für das Haushaltsoptimum daher

(∂u/∂x)/(∂u/ ∂y) = p1/p2

=› (1/x)/(2/y) = 500/1.000

=› (y/2)·(1/x) = 0,5

=› y/(2·x) = 0,5

=› y = x.

Dies setzen wir in die Budgetbeschränkung ein und erhalten

B = p1·x + p2·y

=› 300.000 = 500·x + 1.000·y

=› 300.000 = 500·x + 1.000·x = 1.500·x

=› x = 200, y = 200.

 

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