Mikroökonomie: 5.2 Produktionstheorie

5.2 Produktionstheorie

Aufgabe 7:

a) Wir halten fest:

MERKE:

Da das Inputniveau auf x = 1 fixiert ist, kann es sich nur um eine kurzfristige Kostenfunktion handeln.

Kurzfristige Kostenfunktionen wiederum rechnet man so aus:

LAMBERT-KOCHREZEPT KURZFRISTIGE KOSTENFUNKTION:

1. Einsetzen des fixen Faktors in die Produktionsfunktion.

2. Produktionsfunktion umformen nach dem anderen Faktor ergibt die bedingte Faktornachfrage nach diesem Faktor.

3. Sowohl diese Funktion als auch das fixierte Inputniveau einsetzen in die Kosten in Abhängigkeit der Inputfaktoren, also in K(l,k) = w·l + r·k. Dies ergibt die kurzfristige Kostenfunktion K(x) = kv·x + Kf.

Einsetzen von l = 1 in die Produktionsfunktion ergibt das Outputniveau

x = 3·11/3·k1/3 = 3·1·k1/3 = 3·k1/3

und somit k = (x/3)3 (= bedingte Faktornachfrage).

Durch Einsetzen sowohl dieser Funktion als auch des fixierten Inputniveaus l = 1 in die Kosten in Abhängigkeit der Inputfaktoren K(l,k) = w·l + r·k erhalten wir:

K(l,k) = w·l + r·k

= 1·1 + 3·k

= 1 + 3·(x/3)3

= 1 + 3-2·x3

= 1 + x3/9 = K(x).

Die fixen Kosten sind Kf = 1, die variablen Kosten liegen bei Kv(x) = x3/9.

b) Die Gewinnfunktion der Firma lautet:

G(x) = p·x – K(x).

Durch Einsetzen des gegebenen Preises und unserer Kostenfunktion ergibt sich:

G(x) = 1/3·x – (1 + x3/9).

Im Gewinnmaximum muss gelten:

= 0

und demnach:

= 1/3 – 3·x2/9 = 0, also

1/3 = 3·x2/9, d.h. es gilt die Bedingung „Preis gleich Grenzkosten“.

MERKE:

Im Optimum einer Firma im vollständigen Wettbewerb gilt immer Preis gleich Grenzkosten.

Nun lösen wir die obige Bedingung nach x auf:

1/3 = 3·x2/9

1/3 = 1·x2/3 |·3

1 = x2 |

x = 1.

Demnach würde die Firma eine Menge von x = 1 produzieren, wenn sie hierdurch einen größeren Gewinn erzielen würde, als wenn sie nicht produziert. Dies ist immer der Fall, wenn der Preis größer oder gleich den Durchschnittskosten ist.

Kurzfristig kann die Firma Fixkosten haben. Somit ist der Gewinn der Firma, wenn sie produziert G(x) = p·x – K(x) – Kf. Wenn sie nicht produziert, ist ihr Gewinn G(0)= p·0 – K(0)- Kf = – Kf. Demnach ist eine Firma am Markt tätig, wenn G(x)≥ G(0), also p·x – K(x) -Kf ≥-Kf und somit p ≥ K(x)/x.

MERKE:

Eine Firma hat nur einen positiven Output, wenn p ≥ K(x)/x. Der Gewinn G(x) kann hier kurzfristig, bedingt durch die Fixkosten, negativ werden.

Mit unserer Kostenfunktion K(x) = 1 + x3/9 erhalten wir die Durchschnittskosten durch einfaches Teilen dieser Funktion durch x.

Also DK = (1 + x3/9)/x = 1/x + x3/(9x) = 1/x + x2/9.

Würde die Firma eine Menge von x = 1 produzieren, so beliefen sich die Durschnittskosten DK auf:

DK = 1/1 + 12/9 = 1 + 1/9 = 10/9.

Der Marktpreis indes war p = 1/3. Da jedoch 1/3 < 10/9 ist, gilt p < DK.

Die Firma produziert also nicht, denn der Preis pro Stück ist geringer als die Kosten pro Stück. Die optimale Menge ist daher x* = 0.

MERKE:

Überprüfe immer, ob die Firma am Markt zu dem gegebenen Preis tätig sein will.

c) Für die optimale Wahl der Inputfaktoren benutzen wir die Optimalitätsregel „Verhältnis der Grenzproduktivitäten = Verhältnis der Inputpreise“.

MERKE:

Da nun alle Faktoren variabel sind, berechnen wir also die langfristige Kostenfunktion.

Diese können wir nach dem folgenden Schema aufstellen.

LAMBERT-KOCHREZEPT LANGFRISTIGE KOSTENFUNKTION:

  1. Verhältnis der Greproduktivitäten = Verhältnis der Inputpreise.
  2. Umformen dieser Bedingung nach einem Faktor.
  3. Einsetzen dieser Funktion in die Produktionsfunktion und umformen nach dem anderen Faktor ergibt die bedingte Faktornachfrage nach dem anderen Faktor.
  4. Einsetzen dieser bedingten Faktornachfrage in die Optimalitätsbedingung und umformen nach dem übrig gebliebenen Faktor ergibt die bedingte Faktornachfrage nach diesem Faktor.
  5. Einsetzen beider Faktornachfragen in die Kosten in Abhängigkeit der Inputfaktoren, also in K(l,k) = w·l + r·k, ergibt die langfristige Kostenfunktion.

Also:

= .

Angewandt auf die gegebene Produktionsfunktion:

= =.

Man dividiert die l – und die k-Terme und erhält

= l-1k = =

und somit k = l/3. Einsetzen in die Produktionsfunktion führt zu

x = 3·l1/3·(l/3)1/3

= 3·l1/3·l1/3·3-1/3

= 32/3·l2/3

= (3·l)2/3.

Umformen dieser Bedingung nach l ergibt

x3/2 = 3 l und liefert damit die bedingte Faktornachfrage l = x3/2/3.

Diese eingesetzt in die Optimalitätsbedingung k/l = 1/3 führt zur bedingten Faktornachfrage nach k.

= k = x3/2/9.

Sowohl beide Preise w und r als auch beide bedingte Faktornachfragen einsetzen in die Kosten in Abhängigkeit der Inputfaktoren ergibt

K(l,k) = w·l +  r k = 1·(x3/2/3) + 3 (x3/2/9)

= (x3/2/3) + (x3/2/3)

= 2/3·x3/2 = K(x)

als langfristige Kostenfunktion. Die fixen Kosten liegen bei Kf = 0 – wie üblich bei einer langfristigen Kostenfunktion, die variablen Kosten sind Kv(x) = 2/3·x3/2 .

Somit ergibt sich die Gewinnfunktion als

G(x)= 1/3·x – 2/3·x3/2.

Im Optimum muss wieder der Preis den Grenzkosten entsprechen:

1/3 = (2/3)·(3/2)·x1/2 1/3 = x1/2 x = 1/9.

Diesen optimalen Output können wir nun wieder in die bedingte Faktornachfrage nach l (l = x3/2/3) einsetzen und erhalten das Inputniveau:

l = (1/9)3/2/3 = ((1/9)1/2)3/3 = (1/3)3/3 = (1/27)/3 = 1/81.

Die Firma hätte demnach eine Faktornachfrage von l = 1/81, wenn der Marktpreis ausreichend groß ist, also p ≥ DK ist.

Die Durchschnittskosten ergeben sich nun nach der Anpassung, indem wir die Kostenfunktion 2/3·x3/2 durch x teilen. Daraus folgt

DK = (2/3 x3/2)/x

= 2/3·x1/2.

Bei dem optimalen Produktionsniveau von x = 1/9 ergibt sich

DK = 2/3 (1/9)1/2

= 2/3·1/3

= 2/9.

Da der Preis 1/3 beträgt, gilt auch hier wieder p < DK. Die Firma würde auch jetzt nicht produzieren, da der Preis zu klein ist. Sie würde folgerichtig das Inputniveau von l = 0 wählen.

Aufgabe 8:

Wir skalieren jeden Faktor mit λ und erhalten:

((λ·v1)1/2 + (λ·v2)1/2)2 = [(λ1/2·(v1)1/2 + λ1/2·(v2)1/2)]2

= [(λ1/2·(v11/2 + v21/2)]2

=λ·(v11/2 + v21/2)2.

Wir erhalten dasselbe Ergebnis, wenn wir den gesamten Output mit λ skalieren:

λ·Y = λ·(v11/2 + v21/2)2

Da wir dasselbe Ergebnis erhalten, liegen konstante Skalenerträge vor.

Aufgabe:

Aufgabe 9:

a) Skalenerträge beschreiben den Effekt auf den Output bei einer Steigerung aller Produktionsfaktoren.

Man unterscheidet

  • konstante,
  • steigende und
  • sinkende

Skalenerträge.

Konstante Skalenerträge

Steigert man jeden Faktor um t und erhält hierdurch das t-fache des Outputs, so liegen konstante Skalenerträge vor.

Mathematisch: Sei F(k, l) der Output und gilt F(t·k, t·l) = t·F(k, l), so liegen konstante Skalenerträge vor.

Steigende Skalenerträge

Steigert man jeden Faktor um t und erhält hierdurch mehr als das t-fache des Outputs, so liegen steigende Skalenerträge vor.

Mathematisch:

Sei F(k, l) der Output und gilt F(t·k, t·l) > t·F(k, l), so liegen steigende Skalenerträge vor.

Fallende Skalenerträge

Steigert man jeden Faktor um t und erhält weniger als das t-fache des Outputs, so liegen fallende Skalenerträge vor.

Mathematisch: Sei F(k, l) der Output und gilt F(t·k, t·l) < t·F(k, l), so liegen fallende Skalenerträge vor.

In der Aufgabe 9 gilt:

F(k,l) = 8·l1/3·k2/3. Setzen wir nun das t-fache eines jeden Inputs ein:

F(t·k, t·l) = 8·(t·l)1/3·(t·k)2/3

= 8·t1/3·l1/3·t2/3·k2/3

= 8·t1/3·t2/3·l1/3·k2/3

= 8·t1/3 + 2/3·l1/3·k2/3

= 8·t1·l1/3·k2/3

= t·8·l1/3·k2/3

= t·F(k,l).

Es handelt sich somit um konstante Skalenerträge.

b) Die prozentuale Änderung in Bezug eine einprozentige Änderung eines einzigen Inputs wird ausgedrückt durch die jeweilige Produktionselastizität. Diese wird berechnet durch das Produkt aus Grenz- und Durchschnittsproduktivität und somit durch die Multiplikation der marginalen Änderung des Outputs bei Erhöhung eines Faktors mit dessen Durchschnittsprodukt. Bei einer Cobb-Douglas Produktionsfunktion sind die jeweiligen Produktionselastizitäten konstant und gleich den Exponenten.

Mathematisch und angewandt auf die gegebene Produktionsfunktion ergibt sich:

ε =

=

=

=

=

Somit muß der Arbeitseinsatz um 1% gesteigert werden, um bei Konstanz des Faktors Kapital den Output um 0,333 % zu steigern.

c) Die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS) entspricht dem Verhältnis der Grenzproduktivitäten:

= =

= = = .

Im Optimum muss die GRTS dem Preisverhältnis w/r entsprechen. Hieraus folgt

= .

Es sollen x = 64 Bälle produziert werden, so dass gilt:

x = F(k,l) = 8·l1/3·k2/3 = 64

<=> l1/3·k2/3 = 8

<=> (l1/3·k2/3 )3= 83

<=> l·k2 = 512 => l = 512/ k2.

Dieses Ergebnis setzen wir in die obige Bedingung ein und erhalten

= ‹=› = ‹=› = ‹=› k3 = 1.024·(w/r)

= ‹=› k = 8·(2·)1/3.

Dieses Ergebnis dann einsetzen in die obige Bedingung ergibt

= =>

= 2·

= 2·, also gilt für die optimale Menge an Arbeit:

l = =

d) Da konstante Skalenerträge vorliegen, ist die Kostenfunktion linear.

Aus Aufgabenteil c) wissen wir, dass im Optimum

= gelten muß. Mit den Faktorpreisen w = 20 und r = 5 folgt

= 20/5 = 4 => k = 8·l (Minimalkostenkombination).

Dies setzen wir in die Produktionsfunktion x= F(l,k) = 8·l1/3·k2/3 ein und erhalten

x = 8·l1/3·k2/3 = 8·l1/3·(8·l)2/3 = 8l1/3·l2/3·4 = 32·l1/3 + 1/3 = 32·l. Aufgelöst nach dem Faktor Arbeit gilt l = (1/32)·x.

Mit den Preisen w = 20 und r = 5 ergibt sich somit die Kostenfunktion als

K(l,k) = w·l + r·k

= 20·l + 5·k

= 20 (1/32 x) + 5 (8·l)

= (20/32)·x + 40·l

= (20/32)·x + 40·(1/32)·x

= (60/32)·x

= 1,875·x = K(x).

 

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