Mikroökonomie: 5.3 Preistheorie

5.3 Preistheorie

Aufgabe 10:

Da die Firma im vollständigen Wettbewerb steht, ist diese viel zu klein, um den Marktpreis zu beeinflussen. Sie nimmt diesen als gegeben hin.

Ihre Gewinnfunktion lautet:

G(x) = p·x – K(x)-1.

Durch Einsetzen der gegebenen Kostenfunktion ergibt sich

G(x) = p·x – x2 – 1.

Da die Firma den Marktpreis nicht beeinflussen kann, kann sie den Gewinn nur über die Menge maximieren.

= p – 2·x = 0

Mit p = 12 folgt 12 – 2·x = 0 und somit x = 6.

Nun noch der Test, ob bei einem Preis von p = 12 und einer Menge von x = 6 der Gewinn positiv ist.

G(x) =12·6 – 62 – 1 = 72 – 37 = 35 > 0.

Die Firma würde demnach eine Menge von x = 6 produzieren.

Aufgabe 11:

Im Gegensatz zu einer im vollständigen Wettbewerb stehenden Firma kann der Monopolist durch die Wahl seiner Menge den Marktpreis beeinflussen. Wir stellen die Gewinnfunktion auf und erhalten:

G(x) = p·x – K(x) -1

= (10 – 2·x) x – x2 -1

= 10·x – 2·x2 – x2 – 1.

Im Gewinnmaximum muss gelten:

= 10 – 4·x – 2·x = 0 10 – 4·x = 2·x,

es gilt also Grenzerlös = Grenzkosten

LAMBERT-REGEL:

Bei einer linearen indirekten Nachfragefunktion p = a – b·x hat der Grenzerlös immer die doppelte Steigung der indirekten Nachfragefunktion, denn der Grenzerlös liegt bei E´= GE = a- 2·b·x.

Diese Bedingung formen wir um und erhalten 10 = 6·x, also x = 5/3.

Die optimale Menge setzen wir nun in die indirekte Nachfragefunktion

p = 10 – 2·x ein und sehen p = 10 – 2·5/3 = 20/3.

Aufgabe 12:

a) Da die Firmen nacheinander in den Markt dringen, muss die Lösung eine sequentielle Struktur haben.

MERKE

Bei sequentiellen Strukturen erfolgt die Lösung von hinten nach vorne.

1. Schritt

Berechnung der Gewinnfunktion der zweiten Firma:

G2(x1,x2) = (10 – 2·(x1 + x2))·x2 – x22 – 1

= 10 x2 – 2·x1·x2 -2·x22 – x22 – 1.

Da die Gesamtmenge x in der indirekten Nachfragefunktion nun von beiden Firmen produziert wird, müssen wir x = x1 + x2 setzen.

2. Schritt

Durch Ableiten der Gewinnfunktion, die Ableitung gleich null setzen und umformen nach x2 erhalten wir die optimale Menge der zweiten Firma in Abhängigkeit von der Menge der ersten Firma. Die Reaktionsfunktion der zweiten Firma errechnet sich durch

= 10 – 2·x1– 4·x2 – 2·x2 = 0

10 – 2·x1 = 6·x2

5/3 – (1/3)·x1 = x2.

3. Schritt

Aufstellen der Gewinnfunktion der ersten Firma und Einsetzen der Reaktionsfunktion der zweiten Firma in diese Gewinnfunktion, da die erste Firma weiss, wie die zweite reagiert.

G1(x1,x2) = (10 – 2·(x1 + x2))·x1 – x12 – 1

= 10 x1 – 2·x1·x2 -2·x12 – x12 – 1.

Mit x2 = 5/3 – (1/3)·x1 folgt:

G1(x1) = 10 x1 – 2·x1·(5/3 – (1/3)·x1) – 2·x12 – x12 – 1

G1(x1) = 10 x1 – 2·x1·(5/3 ) + 2·(1/3)·x12 – 2·x12 – x12 – 1

4.Schritt

Ableiten der Gewinnfunktion, gleich null setzen und auflösen nach x1 führt zur gesuchten Menge.

= 10 – 10/3 + (4/3)·x1 – 4·x1 – 2·x1 = 0

20/3 + (4/3)·x1 – 6 x1 = 0

20/3-(14/3)·x1 = 0

20/3 = (14/3)·x1

10/7 = x1

Die Firma produziert nun x1 = 10/7.

b) Durch Einsetzen der Menge der ersten Firma (x1 = 10/7) in die Reaktionsfunktion der zweiten Firma erhalten wir die Reaktion der zweiten Firma auf die von der ersten Firma produzierten Menge. Die Reaktionsfunktion der zweiten Firma war:

x2 = 5/3 – (1/3)·x1.

Einsetzen von x1 = 10/7 ergibt

x2 = 5/3 – (1/3)·10/7 = 5/3 – 10/21 = 25/21.

Die zweite Firma produziert eine Menge von x2 = 25/21.

Den Marktpreis erhalten wir durch Einsetzen der beiden Mengen x1 und x2 in die indirekte Nachfragefunktion p= 10 – 2·(x1 + x2) = 10 – 2·(10/7 + 25/21) = 10 – 110/21 = 100/21.

c) Bei einem Preis von p = 100/21 ergibt sich ein Gewinn für Firma 1 von

G1 = (100/21)·10/7 – (10/7)2 – 1

= 1000/147 – 300/147 -147/147

= 553/147

= 3,762.

Für Firma 2 ergibt sich ein Gewinn von

G2 = (100/21)·25/21 – (25/21)2 – 1

= 4·(25/21)2 – (25/21)2 – 1

= 3·(25/21)2 – 1

= 3,252.

Aufgabe 13:

a) 1. Schritt

Durch Aufstellen der Gewinnfunktion, Ableiten, die Ableitung gleich null setzen und Umformen nach der jeweiligen Menge der einzelnen Firma erhalten wir die Reaktionsfunktionen der einzelnen Firmen.

Da beide Firmen gleichzeitig über die Mengen entscheiden liegt, im Gegensatz zum Stackelberg – Wettbewerb, keine sequentielle Struktur vor. Die Gewinnmaximierung der beiden Firmen erfolgt parallel (gleichzeitig). Wir rechnen also das Cournot-Nash-Modell.

Die Gewinnfunktionen der beiden Firmen lauten:

G1(x1,x2) = (10 – 0,1·(x1 + x2))x1 – 3·x1

G2(x1,x2) = (10 – 0,1·(x1 + x2))x2 – 3·x2, zusammengefasst

G1(x1,x2) = 10·x1 – 0,1·x12 – 0,1·x2·x1 – 3·x1

G2(x1,x2) = 10·x1 – 0,1·x22 – 0,1·x2·x1 – 3·x2.

Ableiten dieser Gewinnfunktionen und gleich null setzen führt zu:

= 10 – 0,2·x1 – 0,1·x2 – 3 = 0

= 10 – 0,2·x2 – 0,1·x1 – 3 = 0, d.h.

7 – 0,1·x2 = 0,2·x1

7 – 0,1·x1 = 0,2·x2, also

35 – (1/2)·x2 = x1

35 – (1/2)·x1 = x2.

MERKE:

Da beide Firmen die gleiche Kostenstruktur haben, müssen ihre Reaktionsfunktionen symmetrisch sein. Zur Berechnung der Reaktionsfunktionen wäre es demnach ausreichend, die Reaktionsfunktion einer Firma zu berechnen und für die Berechnung der Zweiten einfach die Indices zu vertauschen.

2. Schritt

Einsetzen der Reaktionsfunktion der einen Firma in die Reaktionsfunktion der jeweils anderen und auflösen nach den jeweiligen Mengen.

35 – (1/2)·[35 – (1/2)·x1] = x1

35 – (1/2)·(35 – (1/2)·x2) = x2, <=>

(1/2)·35 + (1/4)·x1 = x1

(1/2)·35 + (1/4)·x2 = x2 <=>

(1/2)·35 = (3/4)·x1

(1/2)·35 =(3/4)·x2, <=>

x1 = 70/3,

x2 = 70/3.

MERKE:

Da beide Firmen die gleiche Kostenstruktur haben und beide demzufolge die gleiche Reaktionsfunktion, müssen auch beide Firmen im Gleichgewicht die gleiche Menge anbieten.

Dies gilt natürlich nur für gleiche Kostenstrukturen. Bei unterschiedlichen Kostenstrukturen müssen Reaktionsfunktionen als auch Mengen für jede Firma explizit berechnet werden.

b) Der Marktpreis beträgt

p = 10 – 0,1·(x1 + x2)

= 10 – 0,1·(70/3 + 70/3)

= 10 – 0,1·140/3

= 5,333.

Die Gewinne der beiden Firmen belaufen sich demnach auf

G1 = G2 = 5,333·70/3 – 3·70/3

= 2,333·70/3

= 54,436.

Aufgabe 14:

a) Die Konsumentenrente ist die Differenz zwischen dem, was ein Konsument für seinen Konsum bereit ist zu zahlen, und dem Betrag, den er zahlen muss.

Da die individuelle Nachfragefunktion den Maximalbetrag anzeigt, den ein Individuum bereit ist, für eine zusätzliche Einheit eines Gutes zu bezahlen (also die marginale Zahlungsbereitschaft widergibt), erhalten wir

die Zahlungsbereitschaft als Integral über die marginale Zahlungsbereitschaft bzw. als Fläche unter der individuellen Nachfragefunktionen.

Die Zahlungsbereitschaft aller Konsumenten erhalten wir einfach als Summe der einzelnen Zahlungsbereitschaften, also als Fläche unter der Nachfragefunktion.

Um die Konsumentenrente zu berechnen, müssen wir hiervon nur noch den Betrag abziehen, den die Konsumenten bezahlen müssen.

Mathematisch berechnen wir die Konsumentenrente als Integral über die indirekte Nachfragefunktion p(x) von 0 bis x* minus dem Betrag, den die Konsumenten zahlen müssen, also p*·x* und demnach mit

KR = Konsumentenrente allgemein,

wobei x* und p* die Gleichgewichtsmenge und der Gleichgewichtspreis ist. Dieser etwas komplizierten Flächenberechnung können wir entgehen, wenn es sich um eine lineare Nachfragefunktion (x = a – b·p) handelt.

Hierbei bildet die Fläche unter der Nachfragefunktion bis zur Gleichgewichtsmenge x* ein rechtwinkliges Dreieck zwischen den Punkten pmax, p* und x*, wobei pmax der Prohibitivpreis ist. Die Formel für die Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks lautet Höhe h, multipliziert mit der Breite b, geteilt durch 2, also FlächeDreieck = ((h·b)/2), wenn sich Länge und Breite rechtwinklig aufeinanderstehen.

Somit läßt sich die Konsumentenrente mit Hilfe der einfachen Formel

KR = Konsumentenrente, speziell,

berechnen.

Da es sich in der Aufgabe um eine lineare Nachfragefunktion handelt, können wir die einfache Dreiecksformel anwenden. Hierzu benötigen wir die Variablen pmax, p* und x* . Für die Berechnung von p* und x* benötigen wir noch die Angebotsfunktion der Unternehmen.

Die Angebotsfunktion der Unternehmen im vollständigen Wettbewerb bildet der steigende Ast der Grenzkostenfunktion (Bei u-förmigen Grenzkosten) ab der Menge, für die die Bedingung G(x) DK(x) erfüllt ist.

Die Bedingung G(x) DK(x) ist bei linearen Kostenfunktionen immer mit Gleichheit erfüllt, das heißt G(x) = DK(x).

Angewandt auf die Aufgabenstellung heisst dies K(x) = 2·x, d.h. die Grenzkosten liegen bei GK = 2, die Durchschnittskosten – allerdings aus anderem Kalkül – ebenfalls bei DK = 2, denn

DK = (2·x)/x = 2.

Die Angebotsfunktion ist also p = 2. Für die Berechnung von x* setzen wir einfach Angebot gleich Nachfrage also:

2 = 12 – 6·x, also x* = 5/3, somit haben wir x* = 5/3 und p*= 2. Der Preis pmax ist einfach der Punkt, bei dem die Nachfrage xD = 0 ist, für die also gilt p(0) = 12 – 6·0 =12. Mit den errechneten Variablen erhalten wir die Konsumentenrente als :

KR = = 25/3.

Zur Kontrolle und zur Übung berechnen wir die Kosumentenrente nochmals mittels der Integralformel.

KR =

=

= 12·x-3·x2 – 2·(5/3)

= (12·(5/3)-3·(5/3)2) – (12·0-3·02) – 2·(5/3)

= (60/3) – 25/3 – 0 – 10/3

= 25/3.

Die Produzentenrente ist die Differenz zwischen dem aus dem Verkauf erzielten Ertrag und den variablen Kosten der Produktion. Sie entspricht dem Mehrwert den ein Produzent aus der Produktion erzielt, also G(x*)-G(0). Fallen keine Fixkosten an, so ist G(0) = 0 und die Produzentenrente entspricht dem Gewinn des Produzenten.

MERKE:

Bei der Produzentenrente werden Fixkosten nicht berücksichtigt.

Somit errechnen wir die Produzentenrente eines Produzenten durch:

PR = p*·xi – Kv(xi),

wobei Kv(xi) die variablen Kosten sind, welche bei der Produktion von x anfallen. Die gesamte Produzentenrente ist einfach die Aggregation aller Produzentenrenten und demnach

PR = p*·x* – Kv(x*).

Für unsere Aufgabe bedeutet dies

PR = 2·(5/3) – 2·(5/3) = 0

Die Wohlfahrt ergibt sich demnach mit:

W = PR + KR

= 0 + 25/3

= 8,3333.

c) Die Herleitung der Lösung dieser Aufgabe ist ein wenig komplizierter. Für Klausuren ist es jedoch im Allgemeinen ausreichend zu wissen, dass das Wohlfahrtsmaximum bei der Menge zu finden ist, bei der der Preis den Grenzkosten entspricht.

LAMBERT-REGEL:

Sollten Sie also dieser Herleitung nicht folgen können oder wollen, merken Sie sich einfach das Ergebnis p = GK.

Um die Wohlfahrt zu maximieren, müssen wir die Funktion der Wohlfahrt aufstellen, diese nach der Menge ableiten, gleich null setzen und nach der Menge auflösen.

Die Wohlfahrt ergibt sich aus Produzentenrente + Konsumentenrente also:

W = + [p·x – Kv(x)]

= – Kv(x).

Diesen Ausdruck können wir noch mehr vereinfachen, wenn wir die variablen Kosten als Integral über die Grenzkosten schreiben, da die Grenzkosten ja nichts anderes sind als die Ableitung der variablen Kosten. Somit gilt ebenfalls

W = –

Dies läßt sich wiederum umformen zu

W = .

Um diesen Ausdruck zu maximieren, müssten wir nun eine Stammfunktion bilden und diese wieder ableiten. Die Ableitung eines Integrals ist aber nichts anderes als die Funktion, über die integriert wird, hier also p(x) – GK(x). Somit gilt

= p(x) – GK(x).

Die Ableitung ist offensichtlich dort gleich null, wo p(x) = GK(x).

MERKE:

Die Wohlfahrt ist an der Stelle maximiert, an der die Bedingung p(x) = GK(x) erfüllt ist. Da dies ebenfalls für Wettbewerbsgleichgewichte gilt, sind Wettbewerbsgleichgewichte wohlfahrtsoptimal.

Hieraus folgt, dass die Lösung dieser Teilaufgabe die Zwischenergebnisse x* = 5/3 und p* = 2 der Teilaufgabe a) sind.

Aufgabe 15:

a) Gehen wir die Aufgabe in Schritten an.

1.Schritt

Finden des Marktpreises und der Menge. Da es sich um ein Monopol handelt, ist diese natürlich die Monopolmenge und der Monopolpreis. Diese erhalten wir über die Bedingung Grenzertrag = Grenzkosten. Weiterhin handelt es sich hier um eine lineare Nachfragefunktion, so dass sich der Grenzertrag direkt aus der Nachfragefunktion durch Verdoppelung der Steigung ergibt. Im Gewinnmaximum des Monopolisten gilt demnach

12 – 2·6·x = 2·x -> 12 = 14·x -> x = 6/7.

Durch Einsetzen der Menge x = 6/7 in die indirekte Nachfragefunktion erhalten wir p = 12 – 6·(6/7) = 48/7.

2.Schritt

Wir berechnen die Konsumenten- und die Produzentenrente. Da es sich um eine lineare Nachfragefunktion handelt, können wir für die Konsumentenrente die Dreiecksformel anwenden (pmax = 12 kennen wir schon aus Aufgabe 14:

KR = ·6/7

= 6 – 24/7 6/7

= 36/7 – 144/49

= 108/49.

Die Produzentenrente entspricht dem Gewinn des Monopolisten, da hier keine Fixkosten anfallen. Somit gilt

PR = (48/7)·(6/7) – 2·6/7

= 288/49 – 12/7

= 204/49.

Wir erhalten die Wohlfahrt durch Addition von Konsumentenrente und Produzentenrente, also

WF = 108/49 + 204/49

= 312/49

= 6,3673.

MERKE:

Die Wohlfahrt ist natürlich kleiner als beim vollständigen Wettbewerb, da die Bedingung Preis gleich Grenzkosten beim Monopol nicht erfüllt ist.

Aufgabe 16:

a) Zunächst bilden wir durch Umformen der Nachfragefunktion die indirekte Nachfragefunktion p = 150 – 8·x. Im Maximum ist der Grenzerlös gleich 0.

Bei linearer Nachfragefunktion hat der Grenzerlös die doppelte Steigung der Nachfragefunktion, sodass gilt: Grenzerlös = 150 – 16·x.

Man kann den Grenzerlös auch direkt ausrechnen:

E‘ = (p(x)·x)‘

= ((150 – 8·x)·x)‘

= (150·x – 8·x2)

= 150 – 16·x.

Im Maximum gilt also 150 – 16·x = 0 und somit x = 18,75/2 = 9,375.

b) Sei E =p·x der Erlös des Unternehmens. Durch Bildung des totalen Differenzials erhalten wir

dE = p·dx + x·dp =>

dE/dx = p + x·dp/dx =>

E‘ = p + x·dp/dx.

Sei ε die Preiselatizität der Nachfrage, also ε = (dx/dp)·(p/x) und somit x·dp/dx = (-1/ε)·p, so ergibt sich der Grenzerlös mit:

E‘ = p -(1/ε)·p =>

E‘ = p·(1-1/ε) (Amoroso – Robinson – Relation)

Grenzerlös und Preis stimmen also nur überein, wenn ε = – ∞ ist. Ist ε = 1, so ist der Grenzerlös gleich 0, d.h der Erlös bleibt bei einer Vergrößerung der Absatzmenge konstant. Ist ε < 1, so ist der Grenzerlös negativ und der Erlös nimmt bei einer Vergrößerung der Absatzmenge ab. Ist ε > 1, so ist der Grenzerlös positiv und der Erlös nimmt bei einer Vergrößerung der Absatzmenge zu.

c) Im Gewinnmaximum des Monopolisten entspricht der Grenzerlös den Grenzkosten.

Bei linearer Nachfragefunktion hat der Grenzerlös die doppelte Steigung der indirekten Nachfragefunktion, sodass gilt: GE = E‘ =(p(x) x)‘ = 150 – 16·x.

Die Grenzkosten sind die erste Ableitung der Kostenfunktion, also hier: GK = 2·x + 6.

Im Optimum muss also gelten

GE = GK

<=> 150 – 16·x = 2·x + 6

<=> 144 = 18·x

<=> x = 8.

Durch Einsetzen der Menge von x = 8 in die indirekte Nachfragefunktion erhalten wir einen Preis von p(8) = 150 – 8·8 = 86.

Durch Einsetzen der von x = 8 in die Kostenfunktion ergeben sich Gesamtkosten von K(8) = 82 + 6·8 + 9 = 121. Der Gewinn des Monopolisten beläuft sich somit auf G = 86·8 – 121 = 567

d) Die Gewinnschwelle oder das Betriebsoptimum liegt im Minimum der durchschnittlichen Gesamtkosten. Im Minimum der durchschnittlichen Gesamtkosten werden diese von den Grenzkosten geschnitten. Somit gilt durchschnittliche Gesamtkosten = Grenzkosten und demnach

=> (x2 + 6·x + 9)/x = 2·x + 6

=> x + 6 + 9/x = 2·x + 6

=> x + 9/x = 2·x

=> 9/x = x

=> 9 = x2

=> 3 = x

Die Gewinnschwelle liegt bei x = 3.

Für eine im Wettbewerb stehende Firma ist der Preis ein Datum. Ihre Gewinnfunktion lautet demnach:

G(x) = p·x -Kv(x) -Kf

sollte die Firma Fixkosten in Höhe von Kf haben. Im Gewinnmaximum gilt

G(x)/∂x = p – K‘ = 0 => p = K‘.

Die Grenzkosten belaufen sich auf K'(x) = 2·x + 6. An der Gewinnschwelle x = 3 ergeben sich Grenzkosten von K'(3) = 2·3 + 6 = 12. Der Regel p = K‘ folgend ergibt sich also ein Preis von p = 12.

Diese Gewinnschwelle spielt in Aufgabenteil c) keine Rolle, da der Monopolist, im Gegensatz zu einer im vollständigen Wettbewerb befindlichen Firma, sowohl die angebotene Menge als auch den Marktpreis beeinflussen kann. Eine Firma im vollständigen Wettbewerb wählt nur die Menge und betrachtet den Marktpreis als gegeben. Sie folgt der Regel p = K‘, ihre kurzfristige Angebotsfunktion beginnt jedoch erst dort, wo die Grenzkosten die durchschnittlichen variablen Kosten schneiden (die mittelfristige Angebotsfunktion sogar erst dort, wo die Grenzkosten die durchschnittlichen Gesamtkosten schneiden (Gewinnschwelle)). Im Gegensatz dazu hat der Monopolist keine Angebotsfunktion, sondern nur einen Angebotspunkt (den Cournotschen Punkt), nämlich seinen Preis und seine Menge.

 

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