Mikroökonomie: 2.1 Haushaltsoptimum

2 Haushaltstheorie

Die Haushaltstheorie beschreibt und analysiert das Verhalten eines einzelnen Haushalts. Dieser entscheidet über

  • Konsumkäufe,
  • Arbeitsangebotsverhalten
  • und Ersparnisbildung.

2.1 Haushaltsoptimum

Mit dem Begriff des Haushaltsoptimums verbunden ist die Frage, wieviel, also welche Mengen der beiden Güter 1 und 2 optimalerweise nachgefragt werden, wenn der Haushalt über ein bestimmtes Budget B verfügt und die Preise der Güter durch p1 und p2 gegeben sind.

Diese Frage lässt sich (wie so vieles in der Mikroökonomie)

  • graphisch,
  • analytisch (= mathematisch) und
  • verbal erklären.

Wir verbinden stets alle Methoden miteinander.

Speziell für das Haushaltsoptimum wichtig sind die Begriffe

  • Budgetgerade und
  • Nutzenindifferenzkurve.

Ihr Tangentialpunkt bildet später genau das Haushaltsoptimum. Deshalb müssen wir zunächst die beiden Konzepte herleiten.

MERKE:

Die Nutzenindifferenzkurve (= Indifferenzkurve) ist ein Teil des Präferenzsystems und wird deswegen auch erst in Kapitel 2.1.2.3 hergeleitet.

2.1.1 Budgetgerade

Zunächst leiten wir die Budgetgerade her und interessieren uns danach für die Frage, in welche Richtung sich diese bei gewissen Änderungen bewegt.

2.1.1.1 Herleitung

Die Budgetgerade gibt an, wieviel man sich mit gegebenem Budget (= Einkommen = Geldeinkommen) maximal leisten kann.

Es sei x1 die Menge des ersten Gutes und x2 die Menge des zweiten. Die Preise der beiden seien durch p1 und p2 angegeben. Wenn ein Geldeinkommen von B zur Verfügung steht, dann kann man sich hiermit gerade x1 Mengeneinheiten vom einen Gut und x2 Mengeneinheiten vom anderen leisten:

B = p1·x1 + p2·x2 Budgetrestriktion.

Setzt man nun das Einkommen konstant und löst dies nach x2 auf, so erhält man die Gleichung der Budgetgeraden

x2 = B/p2 – (p1/p2)·x1 Budgetgerade.

Graphisch sieht dies folgendermaßen aus:

j

Abb. 2: Budgetgerade und ihre Schnittpunkte mit den Achsen

Wichtig ist,

  • die Schnittpunkte mit den Achsen und
  • die Steigung der Budgetgeraden

zu verstehen.

Die Achsenschnittpunkte liegen an den Stellen B/p1 (Schnittpunkt mit der Abszisse = x1-Achse) und B/p2 (Schnittpunkt mit der Ordinate = x2-Achse). Wenn z.B. auf das Gut 2 komplett verzichtet wird, also x2 = 0 gilt, dann gibt der Haushalt sein gesamtes Einkommen B für das erste Gut aus, also B = p1·x1 + p2·x2 = p1·x1 + p2·0 = p1·x1. Aufgelöst nach x1 erhält man dann x1 = B/p1, wie behauptet.

Beispiel 2:

Der Haushalt habe ein Geldeinkommen von 1.000 € und kauft sich damit Bananen für 2 € pro Stück und Äpfel für 4 € pro Stück.

Wie lautet

a) die Budgetbedingung und

b) die Budgetgerade?

c) Zeichne die Ergebnisse.

Es sei x1 die Menge an Bananen, x2 die Menge an Äpfeln, folglich p1 = 2 und p2 = 4.

a) Die Budgetrestriktion liegt bei

B = 1.000 = p1·x1 + p2·x2 = 2·x1 + 4·x2.

b) Aufgelöst nach x2 erhält man die Budgetgerade als

x2 = B/p2 – (p1/p2)·x1 = 1.000/4 – (2/4)·x1 = 250 – 0,5·x1.

Mit B = 1.000 € kann man sich x1 = 500 Bananen leisten, wobei dann kein Geld mehr übrig ist für Äpfel wegen x2 = 250 – 0,5·500 = 0. Genauso kann der Haushalt sich x1 = 250 Bananen leisten und bezahlt hierfür p1·x1 = 2·250 = 500 € und hat noch 500 € übrig, mit denen er sich x2 = 500/4 = 125 Äpfel leisten kann. Diese Zahl erhält man auch durch direktes Einsetzen in die Budgetgerade als x2 = 250-0,5·250 = 125.

MERKE:

Damit sei nochmals die Bedeutung der Budgetgeraden wiederholt. Sie gibt an, wieviel man sich mit gegebenem Budget B und gegebenen Preisen p1 und p2 gerade leisten kann.

c) Die Zeichnung sieht wie folgt aus:

Abb. 3: Budgetgerade und ihre Bedeutung

Im Punkt A leistet man sich x1 = 500 Bananen und hat dann kein Geld mehr für Äpfel, im Punkt B leistet man sich mit seinem Budget genau 250 Bananen und 125 Äpfel, im Punkt C hingegen gibt man das gesamte Geld für 250 Äpfel aus, die man sich mit 1.000 € bei einem Stückpreis von 4 € gerade noch leisten kann.

2.1.1.2 Bewegungen der Budgetgeraden

Veränderungen der Budgetgeraden sind möglich aufgrund von

  • Bewegungen des Budgets
    • die Gerade verschiebt sich parallel,
  • c.p. Bewegungen eines Preises
    • die Gerade dreht sich.

LAMBERT-WIEDERHOLUNG:

Was bedeutet „ceteris-paribus“ (= c.p.)? Es will sagen, dass man

  • genau eine Sache verändert und
  • alle anderen gleich lässt.

Bei Budgetänderungen bewegt sich die Budgetgerade parallel nach rechts oder nach links.

Beispiel 3:

Statt wie vorhin B0 = 1.000 € habe der Haushalt nun B1 = 2.000 € zur Verfügung. Die Preise der Güter liegen weiterhin bei p1 = 2 € und p2 = 4 €. Berechne und zeichne die neue Budgetgerade.

Der Schnittpunkt der Geraden mit der x1-Achse ist nun nicht mehr B0/p1 = 1.000/2 = 500, sondern vielmehr B1/p1 = 2.000/2 = 1.000. Genauso verschiebt sich der Schnittpunkt mit der Ordinate, also der x2-Achse, auf B1/p2 = 2.000/4 = 500:

Abb. 4: Budgetgerade bei gestiegenem Geldeinkommen (B)

MERKE:

Eine Budgeterhöhung verschiebt die Gerade nach rechts, eine Budgetsenkung nach links.

Wenn Preise c.p. steigen oder fallen, so dreht sich die Budgetgerade.

Beispiel 4:

Im obigen Beispiel 2 möge der Preis der Bananen auf 1 € sinken. Das Geldeinkommen liege bei 1.000 €, der Preis der Äpfel weiterhin bei einem Preis von 4 €.

Berechne und zeichne die neue Budgetgerade.

Es gibt zwei Argumente, warum sich die Budgetgerade nach außen dreht:

  • weil der Schnittpunkt mit der Achse, also B/p1, steigt,
    • denn der Nenner, d.h. p1, sinkt,
  • weil die Steigung -p1/p2 betragsmäßig sinkt,
    • denn der Zähler, d.h. p1, sinkt
    • oder der Nenner, d.h. p2, steigt.

Die Abbildung 5 zeigt die Änderung von der alten (B0) zur neuen Budgetgeraden (B1) graphisch auf:

Abb. 5: Budgetgerade dreht sich bei c.p. Preisänderungen

Gehen wir alle Konstellationen für Preisveränderungen und ihre graphischen Auswirkungen durch. Bei Veränderungen von p1 dreht sich die Gerade

  • nach außen,
    • wenn der Preis p1 sinkt,
  • nach innen,
    • wenn p1 steigt:

Abb. 6: Drehungen Budgetgerade, wenn p1 sinkt (a) oder steigt (b)

Genauso dreht sich die Budgetgerade von B0 nach B1 im unteren Bild bei Veränderungen von p2

  • nach außen,
    • wenn der Preis p2 sinkt,
  • nach innen,
    • wenn er steigt.
Abb. 7: Drehungen Budgetgerade, wenn p2 sinkt (a) oder steigt (b)

2.1.2 Präferenzen

Zunächst gehen wir auf die Eigenschaften von Präferenzen ein. Hiernach leiten wir die äußerst wichtigen Nutzenindifferenzkurven her. Diese werden dann, zusammen mit den bereits beschriebenen Budgetgeraden, graphisch das Haushaltsoptimum ergeben.

2.1.2.1 Eigenschaften von Präferenzen

Präferenzen zeichnen sich durch gewisse Eigenschaften aus:

  • Transitivität,
  • Monotonie,
  • Vollständigkeit.
2.1.2.1.1 Transitivität

Ein Präferenzsystem R heißt transitiv, wenn für xRy und yRz gilt, dass xRz ist. Mit anderen Worten: wenn x in Relation zu y und außerdem y in Relation zu z, dann muss das x auch in Relation zu eben diesem z stehen.

Beispiel 5:

Peter (x) schreibt eine bessere Mikro-Klausur als Paula (y). Diese schreibt eine bessere Klausur als Laura (z).

Dann hat Peter (also x) auch eine bessere Klausur als Laura (also z) geschrieben. Die Relation R beschreibt also den Vergleich der Noten der Mikro-Klausur. Ein Element x (also Student) steht zu einem anderen Element y in Relation, wenn der Student x eine bessere Note in Mikro erzielt hat als y, in Zeichen xRy. Diese Relation ist transitiv.

In der Anwendung der Haushaltstheorie lautet unser Präferenzsystem „R“ das der „Bevorzugung von Gütern“. Ein Güterbündel x steht in Relation zu y, wenn x gegenüber y bevorzugt wird:

xRy genau dann, wenn gilt „x wird gegenüber y bevorzugt.“

Es gibt zahlreiche Gegenbeispiele, aus dem Leben gegriffen, die gerade nicht transitiv sind.

Beispiel 6:

Klara liebt Paul, Paul hingegen liebt Billa.

Höchstwahrscheinlich wird Klara ihre Widersacherin Billa nicht lieben. Die Liebesbeziehung ist daher nicht transitiv.

Beispiel 7:

Der Fußballverein Bayern M. schlägt Borussia D. In der Woche darauf gewinnt Borussia gegen den 1.FC K.

Nach der Logik der Transitivität müsste nun Bayern M. auf jeden Fall auch den 1.FC K. schlagen. Da dies aber nicht sein muss, sind Fußballspiele der Bundesliga nicht transitiv.

2.1.2.1.2 Vollständigkeit

Der Begriff der Vollständigkeit besagt, dass jedes Güterbündel mit jedem anderen Güterbündel vergleichbar ist.

2.1.2.1.3 Monotonie

Kurz gesagt, heisst Monotonie, dass „mehr“ auch besser ist. In der Welt der Güterbündel heisst dies, dass mehr von einem Gut auch besser ist für den Konsumenten.

Beispiel 8:

Drei Bücher zu besitzen ist besser für einen nutzenmaximierenden Menschen, als nur zwei sein eigen zu nennen.

2.1.2.2 Nutzenfunktion

Der Nutzen U in Abhängigkeit eines einzigen Gutes x sieht nach Annahme folgendermaßen aus:

 

Abb. 8: Erstes Gossensches Gesetz

Man unterstellt die Gültigkeit des sog. 1. Gossenschen Gesetzes:

  • mit zunehmendem Konsum steigt der Nutzen,
    • die Nutzenfunktion steigt daher,
    • also ∂U/∂x > 0,
  • aber die Nutzenzuwächse sinken mit zunehmendem Konsum,
    • sie steigt anfänglich progressiv an
    • die Nutzenfunktion steigt hinten nicht mehr so stark an wie vorne,
    • sie steigt also irgendwann nur noch degressiv,
    • also 2U/∂x2 > 0.

Der Nutzen in Abhängigkeit zweier Güter läßt sich graphisch nur im dreidimensionalen Raum veranschaulichen. Da dies auf einem (nur zweidimensionalen) Papier naturgemäß schwierig ist, zeichnet man stattdessen lieber sog. Indifferenzkurven, auf die wir im Folgenden eingehen.

2.1.2.3 Nutzenindifferenzkurven

2.1.2.3.1 Bedeutung

Diese geben an, wieviel Nutzen U0 durch die Kombination der Mengen x1 und x2 zweier Güter 1 und 2 gestiftet wird.

LAMBERT-KOCHREZEPT NUTZENINDIFFERENZKURVE

  • Wie lautet die Nutzenfunktion?
  • Setze den Nutzen konstant, schreibe also U0 statt U.
  • Löse die Nutzenfunktion dann auf nach der Menge jenes Gutes, welches auf der Ordinate steht. Meistens ist dies x2.

Die Funktion x2 = f(x1,U0) ist schließlich die Nutzenindifferenzkurve für den konstanten Nutzen U0.

Diese ist

  • endogen abhängig von der Menge des Gutes 1 und
  • exogen abhängig vom Nutzenniveau U0.

Beispiel 9:

Der Nutzen sei gegeben durch U = x10,5·x20,5. Berechne die Nutzenindifferenzkurve.

Setze den Nutzen U zunächst konstant, schreibe also U0 = x10,5·x20,5. Löse dann nach x2 auf. Zunächst erhält man U0·x1-0,5 = x10,5 und schließlich x2 = U02·x1-1 = U0/x1.

Die Nutzenindifferenzkurve sieht graphisch oftmals folgendermaßen aus:

Abb. 9: Nutzenindifferenzkurve

Setzen wir ein konkretes Nutzenniveau ein.

Beispiel 10:

Im obigen Beispiel 9, also bei der Nutzenfunktion U = x10,5·x20,5, möchte der Haushalt einen Nutzen von 12 Einheiten erzielen.

Berechne und zeichne die Indifferenzkurve.

Wie oben ausgerechnet, liegt sie bei

x2 = U0/x1 = 12/x1.

Wir berechnen eine Wertetabelle und zeichnen den Verlauf ein.

x1

1

4

9

12

x2 = 12/x1

12 (A)

3 (B)

1,33 (C)

1 (D)

Tab. 1: Wertetabelle für x2 = 12/x1

Abb. 10: Nutzenindifferenzkurve für x2 = 12/ x1.

 

LAMBERT-REGEL:

  • Frage: Wie verändert sich nun die Nutzenindifferenzkurve, wenn sich der Nutzen U0 erhöht oder senkt?
  • Antwort: Sie wird dann nach rechts oder links verschoben.

Rechnen wir dies durch.

Beispiel 11:

Berechne und zeichne die Nutzenindifferenzkurven für obiges Beispiel 9 für die Zahlen U0 = 12, U1 = 16 und U2 = 9.

Stellen wir wieder eine Wertetabelle auf:

Nutzenniveausx114912
U0 = 9x2 = 9/x192,25 (G)1 (F)0,75
U1 = 12x2= 12/x1123 (B)1,33 (C)1 (D)
U2 = 16x2= 16/x116416/9 = 1,781,33 (E)

Tab. 2: Indifferenzkurven x2= U0/x1 für verschiedene Nutzenniveaus

Die Kurven sehen dann so aus:

Abb. 11: Indifferenzkurven für unterschiedliche Nutzenniveaus

Sehr wichtig ist schließlich der meistens streng konvexe Verlauf.

MERKE:

Es gibt auch Nutzenindifferenzkurven, die nicht streng konvex sind, sondern streng konkav oder nur konvex (aber nicht streng konvex). Diese betrachten wir im folgenden zunächst nicht weiter.

Es ist sehr wichtig, dass Indifferenzkurven sich nicht schneiden können. Dies liegt daran, dass Monotonie und Transitivität gleichzeitig vorliegen. Angenommen, sie könnten sich schneiden. Dann sähen die beiden Indifferenzkurven z.B. so aus wie in der folgenden Abbildung 12.

Abb. 12: Sich schneidende Indifferenzkurven

Die beiden Punkte B und A stiften denselben Nutzen, denn sie liegen auf ein und derselben Nutzenindifferenzkurve U0. Ebenfalls stiften A und C denselben Nutzen, denn A und C liegen ebenfalls auf ein und derselben Indifferenzkurve (wenngleich auf einer anderen als A und B). Wenn Transitivität unterstellt wird, so müssen B und C dann folglich auch denselben Nutzen stiften. Dies kann aber nicht sein, denn C liegt im Nordosten von B. Nach der (ebenfalls unterstellten) Monotonie stiftet C einen höheren Nutzen als B, denn in C hat der Haushalt von beiden Gütern mehr als in B. Man erhält also einen Widerspruch.

LAMBERT-METHODE:

Um es zusammenzufassen: Indifferenzkurven schneiden sich nicht, wenn gleichzeitig Transitivität und Monotonie gelten sollen.

Wichtig ist, dass sich die Nutzenindifferenzkurven ein und desselben Haushalts nicht schneiden dürfen. Jene zweier unterschiedlicher Haushalte dürfen sich allerdings durchaus schneiden.

2.1.2.3.2 Grenzrate der Substitution

Die Indifferenzkurven führen auf den Begriff der Grenzrate der Substitution, z.B. dx2/dx1.

Achtung: verwechsle nicht die Grenzrate der Substitution (aus der Haushaltstheorie) mit der technischen Grenzrate der Substitution (aus der Produktionstheorie). Beide werden identisch berechnet und ihre Bedeutung ist inhaltlich dieselbe. Trotzdem sind beide aus unterschiedlichen Kapiteln der Mikroökonomie.

Beispiel 12:

Es sei eine eine Nutzenfunktion U = x10,5x20,5 gegeben.

a) Berechne die Grenzrate der Substitution dx2/dx1 an der Stelle x1 = 4, x2 = 9.

b) Was sagt sie aus?

Wir berechnen die Grenzrate wie folgt:

LAMBERT-KOCHREZEPT GRENZRATE DER SUBSTITUTION:

1. Setze den Output konstant.

2. Löse nach einer der beiden Variablen auf, hier nach x1.

3. Leite z.B. nach x1 ab.

4. Setze die gewünschte Stelle ein.

Man rechnet x1 = U2/x2. Dies ergibt nach x2 abgeleitet dx2/dx1 = -(U2/x22). Setzt man dann U ein, so erhält man GRS = dx2/dx1 = -(x10,5x20,5)2/x22 = -(x1·x2)/x22= – x1/x2. An der Stelle (x1,x2) = (4,9) erhält man also dx2/dx1 = -4/9 = -0,44.

LAMBERT-REGEL:

Also: wenn das x1 um eine ME erhöht wird, dann kann man auf 0,44 ME Arbeit verzichten und erhält trotzdem denselben Nutzen.

Diese Behauptung rechnen wir nach: der Nutzen liegt in der Situation (x1,x2) = (4,9) bei U = 40,5·90,5 = 2·3 = 6. Wenn nun von x1 eine ME weniger eingesetzt wird und 0,44 ME zusätzlich von x2, so liegt der Nutzen bei U = x10,5x20,5 = U = 4,440,5·80,5 = 5,9628. Dies ist ungefähr gleich 6.

MERKE:

Die Tatsache, dass dies nur ungefähr und nicht exakt stimmt, liegt darin begründet, dass die obige Aussage nicht für eine (ganze) Mengeneinheit gilt, sondern lediglich für eine unendlich kleine (= infinitisimale) Mengeneinheit.

Die Grenzrate der Substitution ist die Steigung der Indifferenzkurve.

Abb. 13: Grenzrate der Substitution dx2/dx1

 

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