Sub­sti­tu­tio­na­le Produktionsfunktionen

Wenn Faktoren gegenseitig austauschbar sind - substitutionale Produktionsfunktion

Man unter­schei­det, wie oben angedeutet,

  • total sub­sti­tu­tio­na­le und
  • peri­pher substitutionale

Pro­duk­ti­ons­funk­tio­nen.

1 Total sub­sti­tu­tio­na­le Produktionsfunktionen

Bei total sub­sti­tu­tio­na­len Pro­duk­ti­ons­funk­tio­nen ist es mög­lich, auf einen Input­fak­tor kom­plett zu ver­zich­ten und trotz­dem einen posi­ti­ven Out­put zu erhalten.

Bei­spiel 27:

Die Pro­duk­ti­ons­funk­ti­on lau­te x = v1 + 4·v2.

Zei­ge, dass sie

a) sub­sti­tu­tio­nal ist, und dass sie

b) sogar total sub­sti­tu­tio­nal ist

c) Zeich­ne ein­zel­ne Ertragsisoquanten.

a) Ein Out­put von x = 2 lässt sich unter­schied­lich her­stel­len. So ist es mög­lich, v1 = 2 und v2 = 0 ein­zu­set­zen und die­sen Out­put zu erhalten:x = v1 + 4·v2 = 2 + 4·0 = 2, aber auch durch v1 = 0 und v2 = 0,5 ist der­sel­be Out­put mög­lich: x = v1 + 4·v2 = 0 + 4·0,5 = 2.

Ins­ge­samt ist die Funk­ti­on sub­sti­tu­tio­nal, denn unter­schied­li­che Input­kom­bi­na­tio­nen erge­ben den­sel­ben Output.

b) Sie ist total sub­sti­tu­tio­nal, denn wenn man den zwei­ten Input gleich null setzt, also v2 = 0 schreibt, so ist es trotz­dem mög­lich, einen posi­ti­ven Out­put zu gene­rie­ren. Wenn näm­lich v1 = 2, so ist

x = 2 + 4·0 = 2 > 0.

c) Schau­en wir uns dies in der gra­phi­schen Dar­stel­lung der Ertrags­iso­quan­ten an. Wir rech­nen z.B. die Ertrags­iso­quan­te für einen kon­stan­ten Out­put x0 aus, indem wir x0 statt x schrei­ben und nach v2 auf­lö­sen: x0 = v1 + 4·v2, also x0 – v1 = 4·v2 und also

v2 = 0,25·x0 – 0,25·v1.

So lau­tet die Ertrags­iso­quan­te für einen Out­put von x0 = 2 dann

v2 = 0,25·2 ‑0,25·v1 = 0,25 – 0,25·v1

und für einen Out­put von x0 = 4 schließlich

v2 = 0,25·4 – 0,25·v1 = 2 – 0,25·v1.

LAMBERT-REGEL:

Wenn eine Pro­duk­ti­ons­funk­ti­on total sub­sti­tu­tio­nal ist, so berührt sie min­des­tens eine der bei­den Ach­sen. Meis­tens berührt sie sogar beide.

Gra­phisch erhält man

Abb. 43: Iso­quan­ten bei total-sub­sti­tu­tio­na­len Produktionsfunktionen

 

2 Peri­pher sub­sti­tu­tio­na­le Produktionsfunktionen

Bei einer peri­pher-sub­sti­tu­tio­na­le (= par­ti­ell-sub­sti­tu­tio­na­le) Pro­duk­ti­ons­funk­ti­on las­sen sich die Input­fak­to­ren eben­falls aus­tau­schen. Wenn man aller­dings auf einen Fak­tor kom­plett ver­zich­tet, so wird der Out­put stets gleich null.

Bei­spiel 28:

Die Pro­duk­ti­ons­funk­ti­on lau­te x = v12·v2.

Zei­ge, dass die Funktion

a) über­haupt sub­sti­tu­tio­nal ist,

b) dass sie aber ledig­lich par­ti­ell sub­sti­tu­tio­nal ist.

a) Man kann einen Out­put von x = 4 erstel­len, indem man v1 = 2 und v1 = 1 ein­setzt: x = 22·1= 4·1 = 4. Der­sel­be Out­put lässt sich aber auch durch Ein­satz von v1 = 1 und v2 = 4 pro­du­zie­ren, denn x = v12·v2 = 12·4= 4. Ins­ge­samt ist die Pro­duk­ti­ons­funk­ti­on also substitutional.

b) Setzt man v1 = 0 ein, so gilt x = v12·v2 = 02·v2 = 0. Eben­so wird der Out­put gleich null, wenn der ande­re Input gesetzt wird: x = v12·v2 = v12·0 = 0.

LAMBERT-REGEL:

Die Ertrags­iso­quan­te einer peri­pher sub­sti­tu­tio­na­len Pro­duk­ti­ons­funk­ti­on berührt die Ach­sen nicht.

In der vor­lie­gen­den Auf­ga­be berech­net man zunächst die Ertrags­iso­quan­ten, indem der Out­put kon­stant gesetzt wird, man schreibt x0 statt x. Hier­nach löst man nach v2 auf, dies führt auf v2 = x0/v12. Für den Out­put x0 = 4 erhält man also v2 = 4/v12, für x0 = 10 ist v2 = 10/v12.

Dies sieht man auch in der fol­gen­den Graphik:

Abb. 44: Iso­quan­ten, peri­pher-sub­sti­tu­tio­na­le Produktionsfunktion