Mikroökonomie: 3.1 Produktionsfunktionen

3 Unternehmenstheorie

Es geht in der Unternehmenstheorie um zwei Themen:

  • Produktionstheorie und
  • Kostentheorie.

3.1 Produktionsfunktionen

Eine Produktionsfunktion x = x(v1,v2) gibt an, wieviel Output hergestellt wird, wenn v1 Einheiten Arbeit und v2 Einheiten Kapital effizient eingesetzt werden.

Man unterscheidet nach der Substituierbarkeit folgende Arten von Produktionsfunktionen:

  • substitutionale
    • peripher-substitutional
    • total- substitutional
  • limitationale
    • linear-limitationale
    • nichtlinear-limitationale

Produktionsfunktionen.

Eine Produktionsfunktion heisst substitutional, wenn man Faktoren gegenseitig austauschen kann. Genauer erklären wir das Wort im Beispiel 28.

3.1.1 Limitationale Produktionsfunktionen

3.1.1.1 Linear-limitationale Produktionsfunktionen

Bei linear-limitationalen Produktionsfunktionen gibt es immer (mindestens) einen Inputfaktor, der die Produktion limitiert, also beschränkt. Außerdem ist das Inputverhältnis konstant.

Beispiel 26:

Peter produziert Fahrräder. Er benötigt hierfür Reifen und Sattel. Welcher funktionale Zusammenhang liegt der Fahrradproduktion zugrunde?

Die Tatsache, dass ein Fahrrad aus mehr als nur Satteln und Reifen besteht, lassen wir unter den Tisch fallen. Es sei v1 die Anzahl der Sattel, die Peter einsetzt, v2 die Anzahl an Reifen und x die Anzahl der hiermit produzierten Fahrräder, also der Output.

LAMBERT-METHODE:

Ausnahmsweise schreiben wir nun etwas falsches hin. Manche könnten meinen, der funktionale Zusammenhang in der vorliegenden Aufgabe sei durch „x = v1 + 2·v2“ gegeben. Dass dies völlig falsch ist, zeigt die einfache Überlegung, dass man z.B. v1 = 1 Sattel und v2 = 2 Reifen einsetzt. Der Output müsste genau x = 1 Fahrrad sein. Allerdings liefert die (falsche) Formel x = 1 + 2·2 = 5. Also funktioniert die obige Formel offensichtlich nicht.

Richtig ist, dass man v1 = 1 und v2 = 2 einsetzen muss, damit x = 1 resultiert, denn es sind ein Sattel und zwei Reifen für ein Fahrrad nötig. Die Produktionsfunktion lautet vielmehr

x = min{1·v1; 0,5·v2} linear-limitationale Produktionsfunktion.

Rechnen wir nach. Für die Produktion von x = 2 Fahrrädern benötigt man v1 = 2 Sattel und v2 = 4 Reifen. Die Produktionsfunktion zeigt dasselbe, denn

x = min{1·v1; 0,5·v2}

= min{1·2; 0,5·4}

= min{2; 2}

= 2.

Die Bedeutung des kleinen Zusatzes „min“ in einer linear-limitationalen Produktionsfunktion wird klar, wenn ineffizient produziert wird. Angenommen, Peter hat drei Sattel und acht Reifen vorliegen. Mit den vorliegenden Reifen könnte er vier Fahrräder produzieren, mit den Satteln allerdings nur drei. Dies genau zeigt das „min“:

x = min{1·v1; 0,5·v2}

= min{1·3; 0,5·8}

= min{3; 4}

= 3.

LAMBERT-REGEL:

Der Zusatz des „min“, also des Wortes „Minimum“, ist nötig, um zu zeigen, dass einer der beiden Faktoren die Produktion limitiert. Die Sattel beschränken die Produktion. Wären vier Sattel vorhanden, so könnten theoretisch vier Fahrräder produziert werden, wenn dies auch mit den Reifen möglich wäre. Da Peter aber nur über drei Sattel verfügt, kann er lediglich drei Fahrräder herstellen. Der Name der limitationalen Produktionsfunktion gründet sich also genau aus dieser Tatsache, dass nämlich ein Inputfaktor die Produktion limitiert.

Man nennt eine Produktionsfunktion der Gestalt.

x = min{a1·v1; a2·v2} Typ Leontieff (= linear-limitational).

Es gilt hierbei:

MERKE:

Bestimmte Erträge lassen sich mit ihr nur mit einer einzigen, technisch bestimmten Kombination von Inputfaktoren erzielen.

Die Ertragsisoquante ist insofern ein einziger Punkt, nicht eine gesamte Kurve.

Abb. 40: Linear-limitationale Produktionsfunktion

So lassen sich in der Abbildung z.B. x0 = 2 Fahrräder mit v10 = 2 Satteln und v20 = 4 Reifen herstellen. Möglich ist natürlich auch, denselben Output mit anderen Kombinationen herzustellen, nämlich wie oben angesprochen. Dies ist dann allerdings nicht effizient, man würde Faktoren verschwenden. Den Output von x = 2 stellt man also nur mit einer einzigen Faktorkombination effizient her. Einen anderen Output, z.B. x = 4, stellt man ebenfalls nur mit einer einzigen – anderen – Inputkombination effizient her, nämlich mit v1 = 4 Satteln und v2 = 8 Reifen. Verbindet man alle Möglichkeiten, den jeweiligen Output effizient zu produzieren, so erhält man den sog. Prozessstrahl.

MERKE:

Dieser Prozessstrahl ist bei Leontieff-Produktionsfunktionen immer eine Gerade.

Abb. 41: Linear-limitationaler Prozessstrahl bei Produktionsfunktion

3.1.1.2 Nichtlinear-limitationale Produktionsfunktionen

Bei nichtlinear-limitationalen Produktionsfunktionen (= Gutenberg-Produktionsfunktionen = Produktionsfunktionen vom Typ B) ist der Expansionspfad nichtlinear (Abb. b) bzw. er ist zwar linear, aber die Abstände zu den jeweiligen Outputs sind nicht identisch (Abb. a).

Abb. 42: Nichtlinear-limitationale Produktionsfunktionen

 

LAMBERTSCHE GRAMMATIKREGEL:

Man beachte den Unterschied zwischen

  • nicht linear-limitational (auseinandergeschrieben) und
  • nichtlinear-limitational (zusammengeschrieben).

Ersteres kann alles sein, nur eben keine linear-limitationale Funktion. Letzteres hingegen ist zwar limitational, aber auf keinen Fall mit einem Prozessstrahl, der eine Gerade ist.

3.1.2 Substitutionale Produktionsfunktionen

Man unterscheidet, wie oben angedeutet,

  • total substitutionale und
  • peripher substitutionale

Produktionsfunktionen.

3.1.2.1 Total substitutionale Produktionsfunktionen

Bei total substitutionalen Produktionsfunktionen lässt sich auf einen Inputfaktor verzichten und man erhält trotzdem einen positiven Output.

Beispiel 27:

Die Produktionsfunktion laute x = v1 + 4·v2.

Zeige, dass sie

a) substitutional ist, und dass sie

b) sogar total substitutional ist

c) Zeichne einzelne Ertragsisoquanten.

a) Ein Output von x = 2 lässt sich unterschiedlich herstellen. So ist es möglich, v1 = 2 und v2 = 0 einzusetzen und diesen Output zu erhalten:x = v1 + 4·v2 = 2 + 4·0 = 2, aber auch durch v1 = 0 und v2 = 0,5 ist derselbe Output möglich: x = v1 + 4·v2 = 0 + 4·0,5 = 2.

Insgesamt ist die Funktion substitutional, denn unterschiedliche Inputkombinationen ergeben denselben Output.

b) Sie ist total substitutional, denn wenn man den zweiten Input gleich null setzt, also v2 = 0 schreibt, so ist es trotzdem möglich, einen positiven Output zu generieren. Wenn nämlich v1 = 2, so ist

x = 2 + 4·0 = 2 > 0.

c) Schauen wir uns dies in der graphischen Darstellung der Ertragsisoquanten an. Wir rechnen z.B. die Ertragsisoquante für einen konstanten Output x0 aus, indem wir x0 statt x schreiben und nach v2 auflösen: x0 = v1 + 4·v2, also x0 – v1 = 4·v2 und also

v2 = 0,25·x0 – 0,25·v1.

So lautet die Ertragsisoquante für einen Output von x0 = 2 dann

v2 = 0,25·2 -0,25·v1 = 0,25 – 0,25·v1

und für einen Output von x0 = 4 schließlich

v2 = 0,25·4 – 0,25·v1 = 2 – 0,25·v1.

LAMBERT-REGEL:

Wenn eine Produktionsfunktion total substitutional ist, so berührt sie mindestens eine der beiden Achsen. Meistens berührt sie sogar beide.

Graphisch erhält man

Abb. 43: Isoquanten bei total-substitutionalen Produktionsfunktionen

3.1.2.2 Peripher substitutionale Produktionsfunktionen

Bei einer peripher-substitutionale (= partiell-substitutionale) Produktionsfunktion lassen sich die Inputfaktoren ebenfalls austauschen. Wenn man allerdings auf einen Faktor komplett verzichtet, so wird der Output stets gleich null.

Beispiel 28:

Die Produktionsfunktion laute x = v12·v2.

Zeige, dass die Funktion

a) überhaupt substitutional ist,

b) dass sie aber lediglich partiell substitutional ist.

a) Man kann einen Output von x = 4 erstellen, indem man v1 = 2 und v1 = 1 einsetzt: x = 22·1 = 4·1 = 4. Derselbe Output lässt sich aber auch durch Einsatz von v1 = 1 und v2 = 4 produzieren, denn x = v12·v2 = 12·4 = 4. Insgesamt ist die Produktionsfunktion also substitutional.

b) Setzt man v1 = 0 ein, so gilt x = v12·v2 = 02·v2 = 0. Ebenso wird der Output gleich null, wenn der andere Input gesetzt wird: x = v12·v2 = v12·0 = 0.

LAMBERT-REGEL:

Die Ertragsisoquante einer peripher substitutionalen Produktionsfunktion berührt die Achsen nicht.

In der vorliegenden Aufgabe berechnet man zunächst die Ertragsisoquanten, indem der Output konstant gesetzt wird, man schreibt x0 statt x. Hiernach löst man nach v2 auf, dies führt auf v2 = x0/v12. Für den Output x0 = 4 erhält man also v2 = 4/v12, für x0 = 10 ist v2 = 10/v12.

Dies sieht man auch in der folgenden Graphik:

Abb. 44: Isoquanten, peripher-substitutionale Produktionsfunktion

3.1.3 Faktorvariationen

Man kann sich unterschiedliche Arten von Faktorvariationen anschauen:

  • partielle
  • totale
    • isoquante und
    • Niveauvariation.

3.1.3.1 Partielle Faktorvariation

Bei der partiellen Faktorvariation wird genau ein Input verändert, der andere bleibt gleich.

LAMBERT-METHODE:

Gleichbedeutend mit der obigen Formulierung ist die folgende:

Ceteris paribus (c.p.) wird ein Faktor verändert.

Es wäre also schlechter Stil zu sagen, dass „ceteris paribus genau ein Faktor“ verändert wird, denn der Begriff „ceteris paribus“ bedeutet bereits, dass es genau einer ist.

Bei der partiellen Faktorvariation sind zwei Begriffe sehr wichtig:

  • Grenzproduktivität und
  • Produktionselastizität.
3.1.3.1.1 Grenzproduktivität

Diese gibt an, wie stark sich der Output bewegt, wenn ein Input um eine unendlich kleine (= infinitesimale) Mengeneinheit erhöht wird. Man berechnet sie als partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach der fraglichen Variable.

Beispiel 29:

Die Produktionsfunktion sei x = v10,5v20,3.

a) Berechne die Grenzproduktivitäten der beiden Faktoren.

b) Mache die Aussagen der Grenzproduktivitäten klar anhand des Falls v1 = 4 und v2 = 10.

c) Warum stimmt das Ergebnis nur ungefähr und nicht exakt?

a) Die Grenzproduktivität des ersten Faktors, also die partielle Ableitung, beträgt dx/dv1 = 0,5 v1-0,5v20,3. Jene des zweiten Faktors lautet dx/dv2 = 0,3v10,5v20,3-1 = 0,3v10,5v2-0,7 .

Wenn nun konkret v1 = 4 ME und v2 = 10 ME eingesetzt werden, so erhält man einen Output von x = 40,5·100,3 = 2·1,9953 = 3,9905 ME. Die Grenzproduktivität von v1 an der Stelle (v1,v2) = (4,10) ist

dx/dv1 = 0,5 v1-0,5v20,3 = 0,5·4-0,5100,3 = 0,4988.

b) Wenn schließlich der Faktor v1 (und nur dieser!) um eine Mengeneinheit erhöht wird, so geht man von der Kombination (v1,v2) = (5,10) aus und erhält durch Einsetzen in die Produktionsfunktion den Output

x = 50,5·100,3 = 4,4615.

Also gilt: durch Erhöhen des ersten Faktors um eine ME von v1 = 4 auf v1 = 5 steigt der Output von x = 3,9905 auf Δx = xneu – xalt = 4,4615 ME an. Dies ist eine Erhöhung um 4,4615 – 3,9905 = 0,4710 ME.

c) Dies ist aber ungefähr gleich 0,4988!

LAMBERT-METHODE:

Man erhält also nur ungefähr die Grenzproduktivität, weil das Wort infinitesimal nicht beachtet wurde. Wir hatten den ersten Faktor v1 um eine ganze ME erhöht, nicht um eine unendlich kleine! Wenn man dies zusätzlich beachtet, erhält man eine Veränderung von exakt 0,4988 ME.

3.1.3.1.2 Produktionselastizität

Im Gegensatz zur Grenzproduktivität wird der Output nun um 1 % erhöht, nicht um eine (unendlich kleine = marginale) Einheit.

Die Elastizität des ersten Faktors Ev1 berechnet man als

Єv1 = (dx/dv1)·(v1/x), jene des zweiten Faktors ist dann klarerweise

Єv2 = (dx/dv2)·(v2/x).

LAMBERT-KOCHREZEPT ELASTIZITÄTEN

1. Berechne zunächst die Grenzproduktivität dx/dv1, also die partielle Ableitung

2. multipliziere dann mit v1,

3. schreibe im Nenner dann nicht einfach „x“, sondern dividiere durch die gesamte Produktionsfunktion, setze diese also ein.

4. kürze den Ausdruck.

Beispiel 30:

Die Produktionsfunktion sei wie oben x = v10,5v20,3.

a) Berechne die Produktionselastizitäten Ev1 und Ev2.

b) Interpretiere die Werte.

Die Produktionselastizitäten wurden oben bereits berechnet, nämlich

dx/dv1 = 0,5 v1-0,5v20,3 und dx/dv2 = 0,3v10,5v2-0,7. Diese werden eingesetzt in die Formeln für die Elastizitäten:

Ev1 = (dx/dv1)·(v1/x) = 0,5 v1-0,5v20,3·(v1/x). Nun setzt man x ein statt lediglich x zu schreiben: Ev1 = 0,5 v1-0,5v20,3·(v1/v10,5v20,3). Kürzen liefert Ev1 = 0,5. Genauso errechnet man Ev2 = 0,3.

b) Setzt man die Kombination (v1,v2) = (4,10) in die Produktionsfunktion ein, so liegt der Output bei x = 3,9905. Wenn ceteris paribus der erste Faktor um 1 % steigt, also (v1,v2) = (4,04;10) eingesetzt wird, so liegt der Output hingegen bei x = 4,040,5100,3 = 4,0104. Der Output steigt also um Ev1 = (4,0104 – 3,9905)/3,9905 = 4,994 5 % an.

3.1.3.2 Totale Faktorvariation

Bei der totalen Faktorvariaton unterscheidet man, wie oben bereits erwähnt, die

  • isoquante Variation und die
  • Niveauvariation.
3.1.3.2.1 Isoquante Faktorvariation
3.1.3.2.1.1 Bedeutung

Es wird hier genau ein Input erhöht, der andere wird gesenkt. Die Fragestellung lautet:

LAMBERT-METHODE:

Wie stark muss der eine Input erhöht und der andere gesenkt werden, damit der Output gleich bleibt? Dies führt uns auf den Begriff der Grenzrate der technischen Substitution.

3.1.3.2.1.2 Grenzrate der technischen Substitution

Dies führt auf den Begriff der Grenzrate der Substitution, z.B. dv1/dv2.

Abb. 45: GRTS dv1/dv2 (a) und dv2/dv1 (b)

Beispiel 31:

Es sei eine Produktionsfunktion x = v10,5v20,5 gegeben.

a) Berechne die Grenzrate der Substitution dv1/dv2 an der Stelle v1 = 4, v2 = 9.

b) Was sagt sie aus?

Wir berechnen die Grenzrate dv1/dv2 wie folgt:

LAMBERT-KOCHREZEPT 1

GRENZRATE DER TECHNISCHEN SUBSTITUTION dv1/dv2:

1. Setze den Output konstant.

2. Löse nach einer der beiden Variablen auf, hier nach v1.

3. Leite nach v2 ab.

4. Setze die gewünschte Stelle ein.

Man rechnet v1 = x2/v2. Dies ergibt nach v2 abgeleitet dv1/dv2 = -(x2/v22). Setzt man dann x ein, so erhält man dv1/dv2 = -((v10,5v20,5)2/v22) = -(v1·v2)/v22= – v1/v2. An der Stelle (v1,v2) = (4,9) erhält man also dv1/dv2 = -4/9 = -0,4444.

LAMBERT-REGEL:

Also: wenn v2 um eine ME erhöht wird, dann kann man auf 0,4444 ME vom Faktor v1 verzichten und erhält trotzdem denselben Output x.

Diese Behauptung rechnen wir nach: der Output liegt in der Situation (v1,v2) = (4,9) bei x = 40,5 90,5 = 2·3 = 6. Wenn nun vom Kapital eine ME weniger eingesetzt wird und 0,4444 ME zusätzlich von v1, so liegt der Output bei x = v10,5v20,5 = x = 4,44440,5·80,5 = 5,9628. Dies ist ungefähr gleich 6.

MERKE:

Die Tatsache, dass dies nur ungefähr und nicht exakt stimmt, liegt darin begründet, dass die obige Aussage nicht für eine (ganze) Mengeneinheit gilt, sondern lediglich für eine unendlich kleine (= marginale) Mengeneinheit.

Man kann die technische Grenzrate der Substitution aber oft auch auf viel einfachere Weise ausrechnen.

LAMBERT-KOCHREZEPT 2

TECHNISCHE GRENZRATE DER SUBSTITUTION dv1/dv2:

1. Berechne die Grenzproduktivitäten, also dx/dv1 und dx/dv2.

2. Setze diese ein in die Formel dv1/dv2 = – (dx/dv1)/(dx/dv2).

Die Grenzrate der Substition ist also gleich dem

  • umgekehrten
  • negativen
  • Verhältnis der Grenzproduktivitäten.

Auch dies rechnen wir nach für das obige Beispiel.

Es ist dx/dv1 = 0,5·v1-0,5·v20,5 die Grenzproduktivität des ersten Faktors und dx/dv1 = 0,5·v10,5·v2-0,5 jene des zweiten. Diese werden nun durcheinander dividiert, man erhält

(dx/dv1)/(dx/dv2) = (0,5·v1-0,5·v20,5)/(0,5·v10,5·v2-0,5) = v1-0,5-0,5·v20,5-(-0,5)

= v1-1·v21

=v2/v1.

Also ist die Grenzrate der Substitution damit

dv2/dv1 = – v2/v1. Dieses Ergebnis hatten wir aber auch oben erhalten.

MERKE:

Verwechsle die Grenzrate der Substitution dv1/dv2 nicht mit der (anderen!) Grenzrate der Substitution dv2/dv1.

Diese sieht graphisch nämlich vielmehr folgendermaßen aus:

Abb. 46: GRS dv1/dv2 (a) und dv2/dv1 (b)

Hier geht es vielmehr um die genau umgekehrte Fragestellung zu oben

LAMBERT-METHODE BEDEUTUNG dv2/dv1

Frage: Wenn man auf eine Einheit von v1 verzichtet und der Output x konstant bleiben soll, wieviel mehr muss man dann von v2 einsetzen?

Antwort: dv2/dv1 viele Mengeneinheiten.

3.1.3.2.2 Niveauvariation

Bei der Niveauvariation werden alle Inputfaktoren im gleichen Maße erhöht oder gesenkt, z.B. alle um 20 %, alle verdoppelt, verdreifacht etc.

Beispiel 32:

Wieder betrachten wir die Produktionsfunktion x = v10,5v20,5. Was passiert, wenn beide Inputs verdoppelt werden?

Man erhält dann folgenden Output:

x = (2v1)0,5(2v2)0,5

= 20,5v10,5 20,5v20,5

= 20,5 20,5v10,5 v20,5

= 20,5+0,5 v10,5 v20,5

= 2 v10,5 v20,5.

Der Output verdoppelt sich daher, wenn man jeweils den doppelten Input einsetzt. Solch eine Produktionsfunktion heisst linear-homogen.

MERKE:

Bei einer linear-homogenen Funktion wächst der Output genauso schnell wie der Input.

Wir werden im folgenden die Inputs nicht verdoppeln oder verdreifachen, sondern – allgemein – um den Faktor λ erhöhen. Wir setzen also nicht v2 und v1 in die Produktionsfunktion ein, sondern das λ-fache, also λ·v1 und λ·v2, man schreibt hierfür x(λ·v1,λ·v2).

Abb. 47: Sinkende (a), steigende (b), konstante (c ) Skalenerträge

Man spricht allgemein vom sog. Homogenitätsgrad β, wenn eine Erhöhung aller Inputs um den Faktor λ zu einer Erhöhung des Outputs um den Faktor λβ führt, in Zeichen:

x(λ v1, λv2) = λβ x(v1,v2), homogene Produktionsfunktion vom Grade β.

Gleichzeitig kennt man den Begriff der Skalenerträge. Man spricht von (s. Abb. 47)

  • konstanten Skalenerträgen,
    • wenn x(λ v1, λv2) = λβ x(v1,v2),
  • steigenden Skalenerträgen,
    • wenn x(λ v1, λv2) > λ·x(v1,v2)
  • sinkenden Skalenerträgen,
    • wenn x(λ v1, λv2) < λ·x(v1,v2).

Der Ausdruck „Skalenerträge“ ist also ähnlich zu jenem des Homogenitätsgrades, aber nicht identisch.

Es existieren folgende Fälle:

  • der Homogenitätsgrad β ist größer als β > 1,
    • der Output x wächst dann stärker als die Inputs v1 und v2
    • steigende Skalenerträge
  • der Homogenitätsgrad β ist kleiner als β < 1,
    • der Output x wächst dann schwächer als die Inputs v1 und v2
    • sinkende Skalenerträge
  • der Homogenitätsgrad β ist gleich 1, also β = 1,
    • der Output x wächst dann gleich stark wie die Inputs v1 und v2
    • konstante Skalenerträge.

MERKE:

Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist der Homogenitätsgrad identisch zur Summe der Exponenten.

Beispiel 33:

Wieder betrachten wir die Produktionsfunktion x = v10,5v20,5.

a) Wie lautet der Homogenitätsgrad?

b) Welche Art von Skalenerträgen liegen vor?

Wenn man das λ-fache der einzelnen Inputs einsetzt, so erhält man

x (λ·v1,λ·v2) = (λ·v1)0,5(λ·v2)0,5

= λ0,5v10,5 λ0,5v20,5

= λ0,5 λ0,5v10,5 v20,5

= λ0,5+0,5 v10,5 v20,5

= λ·v10,5 v20,5.

Der Exponent von λ ist also 1, der Homogenitätsgrad liegt daher bei β = 1. Die Produktionsfunktion hat also insbes. konstante Skalenerträge. Der Output steigt genauso stark wie die Inputs.

 

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