Wenn Faktoren gegenseitig austauschbar sind - substitutionale Produktionsfunktion
Man unterscheidet, wie oben angedeutet,
total substitutionale und
peripher substitutionale
Produktionsfunktionen.
1 Total substitutionale Produktionsfunktionen
Bei total substitutionalen Produktionsfunktionen ist es möglich, auf einen Inputfaktor komplett zu verzichten und trotzdem einen positiven Output zu erhalten.
Beispiel 27:
Die Produktionsfunktion laute x = v1 + 4·v2.
Zeige, dass sie
a) substitutional ist, und dass sie
b) sogar total substitutional ist
c) Zeichne einzelne Ertragsisoquanten.
a) Ein Output von x = 2 lässt sich unterschiedlich herstellen. So ist es möglich, v1 = 2 und v2 = 0 einzusetzen und diesen Output zu erhalten:x = v1 + 4·v2 = 2 + 4·0 = 2, aber auch durch v1 = 0 und v2 = 0,5 ist derselbe Output möglich: x = v1 + 4·v2 = 0 + 4·0,5 = 2.
Insgesamt ist die Funktion substitutional, denn unterschiedliche Inputkombinationen ergeben denselben Output.
b) Sie ist total substitutional, denn wenn man den zweiten Input gleich null setzt, also v2 = 0 schreibt, so ist es trotzdem möglich, einen positiven Output zu generieren. Wenn nämlich v1 = 2, so ist
x = 2 + 4·0 = 2 > 0.
c) Schauen wir uns dies in der graphischen Darstellung der Ertragsisoquanten an. Wir rechnen z.B. die Ertragsisoquante für einen konstanten Output x0 aus, indem wir x0 statt x schreiben und nach v2 auflösen: x0 = v1 + 4·v2, also x0 – v1 = 4·v2 und also
v2 = 0,25·x0 - 0,25·v1.
So lautet die Ertragsisoquante für einen Output von x0 = 2 dann
v2 = 0,25·2 -0,25·v1 = 0,25 – 0,25·v1
und für einen Output von x0 = 4 schließlich
v2 = 0,25·4 – 0,25·v1 = 2 – 0,25·v1.
LAMBERT-REGEL:
Wenn eine Produktionsfunktion total substitutional ist, so berührt sie mindestens eine der beiden Achsen. Meistens berührt sie sogar beide.
Graphisch erhält man
Abb. 43: Isoquanten bei total-substitutionalen Produktionsfunktionen
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Bei einer peripher-substitutionale (= partiell-substitutionale) Produktionsfunktion lassen sich die Inputfaktoren ebenfalls austauschen. Wenn man allerdings auf einen Faktor komplett verzichtet, so wird der Output stets gleich null.
Beispiel 28:
Die Produktionsfunktion laute x = v12·v2.
Zeige, dass die Funktion
a) überhaupt substitutional ist,
b) dass sie aber lediglich partiell substitutional ist.
a) Man kann einen Output von x = 4 erstellen, indem man v1 = 2 und v1 = 1 einsetzt: x = 22·1= 4·1 = 4. Derselbe Output lässt sich aber auch durch Einsatz von v1 = 1 und v2 = 4 produzieren, denn x = v12·v2 = 12·4= 4. Insgesamt ist die Produktionsfunktion also substitutional.
b) Setzt man v1 = 0 ein, so gilt x = v12·v2 = 02·v2 = 0. Ebenso wird der Output gleich null, wenn der andere Input gesetzt wird: x = v12·v2 = v12·0 = 0.
LAMBERT-REGEL:
Die Ertragsisoquante einer peripher substitutionalen Produktionsfunktion berührt die Achsen nicht.
In der vorliegenden Aufgabe berechnet man zunächst die Ertragsisoquanten, indem der Output konstant gesetzt wird, man schreibt x0 statt x. Hiernach löst man nach v2 auf, dies führt auf v2 = x0/v12. Für den Output x0 = 4 erhält man also v2 = 4/v12, für x0 = 10 ist v2 = 10/v12.
Man unterscheidet, wie oben angedeutet,
Produktionsfunktionen.
1 Total substitutionale Produktionsfunktionen
Bei total substitutionalen Produktionsfunktionen ist es möglich, auf einen Inputfaktor komplett zu verzichten und trotzdem einen positiven Output zu erhalten.
Beispiel 27:
Die Produktionsfunktion laute x = v1 + 4·v2.
Zeige, dass sie
a) substitutional ist, und dass sie
b) sogar total substitutional ist
c) Zeichne einzelne Ertragsisoquanten.
a) Ein Output von x = 2 lässt sich unterschiedlich herstellen. So ist es möglich, v1 = 2 und v2 = 0 einzusetzen und diesen Output zu erhalten:x = v1 + 4·v2 = 2 + 4·0 = 2, aber auch durch v1 = 0 und v2 = 0,5 ist derselbe Output möglich: x = v1 + 4·v2 = 0 + 4·0,5 = 2.
Insgesamt ist die Funktion substitutional, denn unterschiedliche Inputkombinationen ergeben denselben Output.
b) Sie ist total substitutional, denn wenn man den zweiten Input gleich null setzt, also v2 = 0 schreibt, so ist es trotzdem möglich, einen positiven Output zu generieren. Wenn nämlich v1 = 2, so ist
x = 2 + 4·0 = 2 > 0.
c) Schauen wir uns dies in der graphischen Darstellung der Ertragsisoquanten an. Wir rechnen z.B. die Ertragsisoquante für einen konstanten Output x0 aus, indem wir x0 statt x schreiben und nach v2 auflösen: x0 = v1 + 4·v2, also x0 – v1 = 4·v2 und also
v2 = 0,25·x0 - 0,25·v1.
So lautet die Ertragsisoquante für einen Output von x0 = 2 dann
v2 = 0,25·2 -0,25·v1 = 0,25 – 0,25·v1
und für einen Output von x0 = 4 schließlich
v2 = 0,25·4 – 0,25·v1 = 2 – 0,25·v1.
LAMBERT-REGEL:
Wenn eine Produktionsfunktion total substitutional ist, so berührt sie mindestens eine der beiden Achsen. Meistens berührt sie sogar beide.
Graphisch erhält man
Abb. 43: Isoquanten bei total-substitutionalen Produktionsfunktionen
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2 Peripher substitutionale Produktionsfunktionen
Bei einer peripher-substitutionale (= partiell-substitutionale) Produktionsfunktion lassen sich die Inputfaktoren ebenfalls austauschen. Wenn man allerdings auf einen Faktor komplett verzichtet, so wird der Output stets gleich null.
Beispiel 28:
Die Produktionsfunktion laute x = v12·v2.
Zeige, dass die Funktion
a) überhaupt substitutional ist,
b) dass sie aber lediglich partiell substitutional ist.
a) Man kann einen Output von x = 4 erstellen, indem man v1 = 2 und v1 = 1 einsetzt: x = 22·1= 4·1 = 4. Derselbe Output lässt sich aber auch durch Einsatz von v1 = 1 und v2 = 4 produzieren, denn x = v12·v2 = 12·4= 4. Insgesamt ist die Produktionsfunktion also substitutional.
b) Setzt man v1 = 0 ein, so gilt x = v12·v2 = 02·v2 = 0. Ebenso wird der Output gleich null, wenn der andere Input gesetzt wird: x = v12·v2 = v12·0 = 0.
LAMBERT-REGEL:
Die Ertragsisoquante einer peripher substitutionalen Produktionsfunktion berührt die Achsen nicht.
In der vorliegenden Aufgabe berechnet man zunächst die Ertragsisoquanten, indem der Output konstant gesetzt wird, man schreibt x0 statt x. Hiernach löst man nach v2 auf, dies führt auf v2 = x0/v12. Für den Output x0 = 4 erhält man also v2 = 4/v12, für x0 = 10 ist v2 = 10/v12.
Dies sieht man auch in der folgenden Graphik:
Abb. 44: Isoquanten, peripher-substitutionale Produktionsfunktion
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